[論文レビュー] Categorical Aspects of Topological Quantum Field Theories

Bruce Bartlett|ArXiv.org|Dec 5, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 64

ひとこと要約

本学位論文は、コボルディズム圏からベクトル空間への対称モノイダル関手としてのトポロジカル量子場理論（TQFT）の圏的枠組みを構築する。2次元TQFTはフォン・ノイマン代数によって分類され、3次元TQFTはモジュラー圏によって分類され、フェインマン図に一般化された図式的記法を用いて示され、有限ゲージ理論が次元を跨いでカテゴリフィケーションによって代数的構造の階層を生み出す仕組みを示している。

ABSTRACT

This thesis provides an introduction to the various category theory ideas employed in topological quantum field theory. These theories are viewed as symmetric monoidal functors from topological cobordism categories into the category of vector spaces. In two dimensions, they are classified by Frobenius algebras. In three dimensions, and under certain conditions, they are classified by modular categories. These are special kinds of categories in which topological notions such as braidings and twists play a prominent role. There is a powerful graphical calculus available for working in such categories, which may be regarded as a generalization of the Feynman diagrams method familiar in physics. This method is introduced and the necessary algebraic structure is graphically motivated step by step. A large subclass of two-dimensional topological field theories can be obtained from a lattice gauge theory construction using triangulations. In these theories, the gauge group is finite. This construction is reviewed, from both the original algebraic perspective as well as using the graphical calculus developed in the earlier chapters. This finite gauge group toy model can be defined in all dimensions, and has a claim to being the simplest non-trivial quantum field theory. We take the opportunity to show explicitly the calculation of the modular category arising from this model in three dimensions, and compare this algebraic data with the corresponding data in two dimensions, computed both geometrically and from triangulations. We use this as an example to introduce the idea of a quantum field theory as producing a tower of algebraic structures, each dimension related to the previous by the process of categorification.

研究の動機と目的

• トポロジカル量子場理論の背後にある圏論を包括的に紹介すること。
• フォン・ノイマン代数による2次元TQFTの分類と、モジュラー圏による3次元TQFTの分類を明確にすること。
• 対称モノイダル圏における推論のための図式的記法を構築・応用すること。フェインマン図の一般化としての役割を果たす。
• 有限ゲージ理論が次元を跨いで代数的構造の階層を生成する仕組みを示すこと。
• 3次元有限ゲージ理論から生じるモジュラー圏を明示的に計算し、2次元の場合と比較すること。

提案手法

• コボルディズム圏からベクトル空間の圏への対称モノイダル関手としてTQFTを形式化すること。
• モノイダル圏における射および自然変換を表すためにストリング図に基づく図式的記法を用いること。
• 三角形分割と有限ゲージ群の構成を用いて、明示的な代数的構造を持つ2次元TQFTのクラスを定義すること。
• 有限ゲージ理論の構成を任意の次元に拡張し、代数的不変量の塔を生成すること。
• 幾何的および三角形分割に基づく手法を用いて、3次元有限ゲージ理論からモジュラー圏のデータ（例：R行列、F行列、ねじれ）を計算すること。
• 3次元モジュラー圏の代数的データと2次元フォン・ノイマン代数構造を比較し、カテゴリフィケーションの様子を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トポロジカル量子場理論は、どのような代数的構造によって分類されるか？
• RQ2 標準的な仮定の下で、3次元TQFTの背後にある圏的構造は何か？
• RQ3 対称モノイダル圏における推論のための図式的記法は、どのように体系的に構築できるか？
• RQ4 有限ゲージ理論と、それによって生じる異なる次元における代数的構造の関係は何か？
• RQ5 カテゴリフィケーションのプロセスは、2次元フォン・ノイマン代数から3次元モジュラー圏への移行において、どのように現れるか？

主な発見

• 2次元TQFTは、双線形形式とコ双線形形式の写像によって決定される可換フォン・ノイマン代数によって完全に分類される。
• 適切な条件下では3次元TQFTはモジュラー圏によって分類され、バーティングとねじれのデータを含み、トポロジカル不変性に不可欠である。
• 導入された図式的記法は、量子場理論におけるフェインマン図に類似した、強力で直感的な対称モノイダル圏における計算手法を提供する。
• 有限ゲージ群を用いた有限ゲージ理論は、すべての次元で明示的なTQFTを生み出し、非自明な量子場理論の最小例として機能する。
• 3次元有限ゲージ理論から生じるモジュラー圏は明示的に計算され、ゲージ群の表現の圏のドリンフェルト中心構成と同値であることが示された。
• 2次元と3次元のデータの比較により、3次元モジュラー圏が2次元フォン・ノイマン代数をカテゴリフィケーションしたものであることが確認され、カテゴリフィケーションによる代数的構造の階層が明確に示された。