[論文レビュー] Categorical structures enriched in a quantaloid: categories, distributors and functors

Isar Stubbe|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 121

ひとこと要約

本稿は、量子的モノイド（quantaloid）と呼ばれる、追加構造を備えた2圏の観点から、豊饗圏論（enriched category theory）を一般化する。豊饗圏、関手、分配関手（distributors）を、量子的モノイドを基準として体系的に構築し、随伴関手、ケン拡張、重み付き（co）極限、モリタ同値性といった主要な圏論的構成をこの一般化された設定において確立する。特に、量子的モノイド Q における分配関手の2圏 Dist(Q) が、明確な意味で普遍的であることを示し、古典的豊饗圏論を統合的かつ拡張的に再構築する。

ABSTRACT

We thoroughly treat several familiar and less familiar definitions and results concerning categories, functors and distributors enriched in a base quantaloid Q. In analogy with V-category theory we discuss such things as adjoint functors, (pointwise) left Kan extensions, weighted (co)limits, presheaves and free (co)completion, Cauchy completion and Morita equivalence. With an appendix on the universality of the quantaloid Dist(Q) of Q-enriched categories and distributors.

研究の動機と目的

• 対称的モノイド閉圏に対して定義された古典的 V-圏論を、1対象の2圏である量子的モノイドのより一般的な設定へ拡張すること。
• 量子的モノイド Q に豊饗化された圏、関手、分配関手の体系的理論を構築すること。随伴、ケン拡張、重み付き（co）極限を含む。
• Q-豊饗圏および分配関手の2圏 Dist(Q) の普遍的性質を調査し、それが普遍的構成であることを確立すること。
• プレシェーブ、自由（co）完備化、コーシー完備化、モリタ同値性といった概念を、量子的モノイド豊饗設定へ一般化すること。
• 対称的モノイド圏を2圏（量子的モノイド）に置き換えることで、高次元的および一般化された豊饗圏論の基盤を提供すること。

提案手法

• 量子的モノイド Q を基本圏として用い、hom-対象に量子的代数（quantale）構造を備えることで、Q-圏および Q-分配関手の定義を可能にする。
• Q-圏を、量子的モノイド Q の hom-圏における対象を hom-対象として持つ圏として定義し、それらの間の関手および分配関手を構成する。
• Q-豊饗設定において、Q の閉じた構造、特に合成に関する右随伴を活用して、随伴関手、左ケン拡張、重み付き（co）極限を定義する。
• Q-豊饗圏および Q-分配関手の2圏 Dist(Q) の普遍的性質を適用し、それが Q-圏および関手の2圏を普遍的に表現することを示す。
• Q-圏におけるコーシー完備化およびモリタ同値性の概念を、特定の随伴対および冪等的分配関手の存在を用いて扱う。
• Q-分配関手を、プロファイターの一般化として定義し、量子的代数構造および普遍的性質を用いて合成を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的モノイド閉圏に対して定義された V-圏論を、1対象の2圏である任意の量子的モノイドへどのように一般化できるか？
• RQ2 Q が量子的モノイドであるような Q-豊饗圏論において、随伴関手、ケン拡張、重み付き（co）極限の適切な類似物は何か？
• RQ3 Q-豊饗圏および関手の2圏の普遍的性質は、Q-豊饗圏および Q-分配関手の2圏 Dist(Q) によって捉えられるか？
• RQ4 プレシェーブ、自由（co）完備化、コーシー完備化、モリタ同値性といった概念は、Q-豊饗設定へどのように拡張されるか？
• RQ5 量子的モノイドの閉じた構造は、豊饗設定における内部 hom および随伴の構成を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• Q-豊饗圏および Q-分配関手の2圏 Dist(Q) は、普遍的性質によって Q-豊饗圏および関手の2圏を表現するという意味で、普遍的である。
• Q-圏における随伴、左ケン拡張、重み付き（co）極限は、基準となる量子的モノイド Q の閉じた構造を用いて特徴づけられ、古典的 V-圏論の結果を一般化する。
• Q-圏上のプレシェーブは、終端 Q-圏から与えられた Q-圏への Q-分配関手として定義され、ヤオの埋め込みを用いて自由 cocompletion が構成される。
• Q-圏のコーシー完備化は、代表的 Q-分配関手のなす自由 cocompletion の全部分圏として特徴づけられ、古典的定義を一般化する。
• Q-圏間のモリタ同値性は、ある Q-分配関手が全射的かつ本質的に全射的であるという存在によって特徴づけられ、古典的モリタ理論を一般化する。
• Q における合成関手の右随伴 {f,−} および [f,−] の存在は、内部 hom の定義および豊饗極限・余極限の構成を可能にする上で不可欠である。