[論文レビュー] Categories, norms and weights

Marco Grandis|ArXiv.org|Mar 13, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$[0,\infty]$ の圏に加法と乗法を用いて、重み付き圏における部分加法的（コストベース）および部分乗法的（リプシッツ型）ノルムをモデル化する二重モノイダル閉構造を導入する。重み付き集合の圏 ${\bf w}^+$（加法的重み）および ${\bf w}^\bullet$（乗法的重み）に対して、二つの明確に区別された対称モノイダル閉構造を確立し、重み付き代数的トポロジーの基盤を提供するとともに、物理的測度を重みの代数として抽象化する。

ABSTRACT

The well-known Lawvere category R of extended real positive numbers comes with a monoidal closed structure where the tensor product is the sum. But R has another such structure, given by multiplication, which is *-autonomous. Normed sets, with a norm in R, inherit thus two symmetric monoidal closed structures, and categories enriched on one of them have a 'subadditive' or 'submultiplicative' norm, respectively. Typically, the first case occurs when the norm expresses a cost, the second with Lipschitz norms. This paper is a preparation for a sequel, devoted to 'weighted algebraic topology', an enrichment of directed algebraic topology. The structure of R, and its extension to the complex projective line, might be a first step in abstracting a notion of algebra of weights, linked with physical measures.

研究の動機と目的

• $[0,\infty]$ に二つの対称モノイダル閉構造を形式化する：一つは加法（${\bf w}^+$）を、もう一つは乗法（${\bf w}^\bullet$）を用い、それぞれが圏に異なるノルムを誘導する。
• 濃度（コスト、時間、エネルギー）をモデル化する部分加法的ノルムと、リプシッツ定数をモデル化する部分乗法的ノルムの区別を、重み付き圏論において明確にする。
• 重み付き圏のための一貫性のある用語法を確立する。ここで射は合成において加法的または乗法的不等式を満たす重みを持つ。
• 重み付き代数的トポロジーの続編を準備する。ここでは、拡張実数値重みを備えた空間に対してホモトピーおよびホモロジー理論を展開する。
• $[0,\infty]$ の代数的構造と、$\mathbb{C}P^1$ への拡張を検討し、物理的測度（例：RLC回路におけるインピーダンス）と関連する「重みの代数」としての可能性を考察する。

提案手法

• 加法的テンソル積（加法）と内部ホム（切り捨て差）を用いて、$[0,\infty]$ 上に対称モノイダル閉構造 ${\bf w}^+$ を定義する：${\rm hom}^+(\mu,\nu) = 0 \vee (\nu - \mu)$。
• 乗法的テンソル積（乗法）と内部ホム（除法）を用いて、$[0,\infty]$ 上に対称モノイダル閉構造 ${\bf w}^\bullet$ を定義する：${\rm hom}^\bullet(\mu,\nu) = \nu / \mu$、ただし $0/0 = \infty/\infty = 0$。
• 加法的重みを備えたノルム付き集合の圏 ${\rm w}^+{\bf Set}$ を構成する。ここで $|gf| \leq |f| + |g|$ が成り立ち、乗法的重みを備えた ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$ を同様に構成する。ここで $|gf| \leq |f| \cdot |g|$ が成り立つ。
• ${\rm w}^+{\bf Ab}$ および ${\rm w}^\bullet{\bf Ab}$ を基に重み付きアーベル群および重み付き環を定義する。それぞれの射集合には整合性のあるノルムが備わる。
• ${\bf w}^\bullet$ が対合 $\mu \mapsto 1/\mu$ を持つ $\ast$-自己対称的であり、リプシッツ型写像に適した乗法的ノルム構造を備えていることを示す。
• ローヴェルの研究におけるリプシッツノルムのファイバー的アプローチと、直接的な豊かにされた圏のアプローチを比較し、後者の方が重み付きホモロジーおよびホモトピー理論の構築に適していると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張実区間 $[0,\infty]$ に、加法的および乗法的の二つの明確に区別された対称モノイダル閉構造をどのように導入できるか。これにより、圏における二重ノルム構造が可能になるか。
• RQ2 乗法的構造 ${\bf w}^\bullet$ が $[0,\infty]$ 上に持つ圏論的および代数的意義は何か。特に $\ast$-自己対称性および古典的線形論理との関係において。
• RQ3 射における部分加法的および部分乗法的ノルムが、コストとリプシッツ定数といった異なる物理的または計算的解釈に対応する仕組みは何か。重み付き圏論においてこれらをどのように形式化できるか。
• RQ4 $[0,\infty]$ が対合 $\mu \mapsto 1/\mu$ を持つ可換半環であるという構造が、$\mathbb{C}P^1$ や他の領域へどのように一般化できるか。これは抽象的重み代数の構造に何を示唆するか。
• RQ5 $[0,\infty]$ における二重モノイダル構造が、ホモトピーおよびホモロジーが重み付き空間を伴って展開される新しい重み付き代数的トポロジー理論の基盤としてどのように機能するか。

主な発見

• 圏 $[0,\infty]$ は二つの明確に区別された対称モノイダル閉構造を持つ：${\bf w}^+$ は加法をテンソル積とし、${\bf w}^\bullet$ は乗法をテンソル積とする。
• 乗法的構造 ${\bf w}^\bullet$ は対合 $\mu \mapsto 1/\mu$ を持ち、$\ast$-自己対称的である。内部ホムは $\nu / \mu$ で与えられ、$0/0 = \infty/\infty = 0$ と定義される。
• ${\rm w}^+{\bf Set}$ を基に豊かにされた圏は、$|gf| \leq |f| + |g|$ を満たす部分加法的ノルムを備え、合成におけるコストやエネルギーをモデル化する。
• ${\rm w}^\bullet{\bf Set}$ を基に豊かにされた圏は、$|gf| \leq |f| \cdot |g|$ を満たす部分乗法的ノルムを備え、リプシッツ定数やスケール要因をモデル化する。
• 生成元が一つの自由重み付きアーベル群は $\mathrm{w}{\bf Z}$ であり、$k \geq 0$ のとき $|k| = k$、それ以外のとき $|k| = \infty$ である。これは重みの方向性を示している。
• 重み付き集合の圏 ${\rm w}{\bf Set}$ は、加法的重み $|f|_0 = \sup_x (|f(x)| - |x|)$ と乗法的重み $|f|_1 = \sup_x (|f(x)| / |x|)$ を備え、後者は $|f|_1 \leq 1$ により収縮写像を特定する。