[論文レビュー] Cayley graphs on abelian groups

Edward Dobson, Pablo Spiga+1 more|Repository of the University of Primorsk (University of Primorska)|Jun 17, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限アーベル群上のほとんどすべてのケイリー群が、$A \rtimes \langle \iota \rangle$ という最小の自己同型群を持つことを証明している。ここで $\iota$ は群の元を逆数に写す写像である。数え上げと群論的技法を用いて、このような最小自己同型群をもたらす逆元閉じた接続集合の割合が、群の位数 $n \to \infty$ のとき 1 に近づくことを示し、ババイとゴッドサイのアーベル群に関する予想を確認した。

ABSTRACT

Let $A$ be an abelian group and let $ι$ be the automorphism of $A$ defined by $i:a\mapsto a^{-1}$. A Cayley graph $Γ=\mathrm{Cay}(A,S)$ is said to have an automorphism group \emph{as small as possible} if $\mathrm{Aut}(Γ)= A times\langle i angle$. In this paper, we show that almost all Cayley graphs on abelian groups have automorphism group as small as possible, proving a conjecture of Babai and Godsil.

研究の動機と目的

• ババイとゴッドサイが提起した、アーベル群上のほとんどすべてのケイリーディグラフが DRR（有向正則表現）であるという予想を解決すること。
• これをケイリーグラフに拡張し、ほとんどすべての逆元閉じた接続集合が、最小限の自己同型群、すなわち $A \rtimes \langle \iota \rangle$ をもたらすことを示すこと。
• 群の位数 $n \to \infty$ のとき、このような最小自己同型群をもつケイリー群の割合が 1 に近づくことを確立すること。
• 非ラベル付きケイリー群を分析し、漸近的にほとんどすべてのケイリー群が最小自己同型群をもつものと区別できないことを示すこと。

提案手法

• すべての逆元閉じた部分集合 $S \subseteq A$ を数え上げ、$\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)$ の自己同型群によって分類する。
• シュール環と推移的置換群からの群論的制約を用いて、より大きな自己同型群をもたらす「悪い」接続集合の数を制限する。
• 指数関数的および対数的項を用いて、非最小自己同型群をもつ集合のサイズを $n$（群の位数）に関して評価する。
• 群 $A$ が $B = A \rtimes \langle \iota \rangle$ において特徴的であるという事実を活用し、グラフの同型写像と $A$ の自己同型写像を関連づけ、非ラベル付き状況での数え上げを可能にする。
• 漸近的推定を用いて、「悪い」集合の数と全集合の比が $n \to \infty$ のとき 0 に近づくことを示し、主要結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の位数 $|A| \to \infty$ のとき、$\mathop{\mathrm{Aut}}(\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)) = A \rtimes \langle \iota \rangle$ を満たす逆元閉じた部分集合 $S \subseteq A$ の割合は 1 に近づくか？
• RQ2 ババイとゴッドサイの予想（ほとんどすべてのケイリーディグラフが DRR である）は、指数が 2 より大きいアーベル群のケイリーグラフに拡張可能か？
• RQ3 最小自己同型群をもつアーベル群上の非ラベル付きケイリー群の数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 より大きな自己同型群をもたらす接続集合の集合のサイズは、全逆元閉じた集合の数に比べてどの程度か？

主な発見

• 群の位数 $|A| \to \infty$ のとき、$\mathop{\mathrm{Aut}}(\mathop{\mathrm{Cay}}(A,S)) = A \rtimes \langle \iota \rangle$ を満たす逆元閉じた部分集合 $S \subseteq A$ の割合は 1 に近づき、Conjecture 1.4 を確認した。
• より大きな自己同型群をもたらす「悪い」接続集合の数は、$m$ を $A$ の位数が 2 以下の元の数として、$2^{m/2 + 11n/24 + 2(\log_2 n)^2 + 2}$ で抑えられ、全逆元閉じた集合に比べて無視できるほど小さい。
• アーベル群 $A$ における非ラベル付きケイリー群について、自己同型群が $A \rtimes \langle \iota \rangle$ であるものの割合は $n \to \infty$ のとき 1 に近づき、Theorem 6.2 を証明した。
• 群 $A$ 上の DRR の数は $|2^A_{\text{DRR}}| \geq 2^n - 2^{3n/4 + 2(\log_2 n)^2 + 1}$ を満たし、$A$ 上のほとんどすべてのケイリーディグラフが DRR であることを示した。
• 群 $A$ 上の非ラベル付き DRR の数は $|\mathrm{UDRR}(A)| \geq 2^{n - (\log_2 n)^2} - 2^{3n/4 + (\log_2 n)^2 + 1}$ を満たし、非DRRとDRRの比は 0 に近づく。これにより Theorem 6.1 を証明した。