[論文レビュー] Central limit theorem started at a point for additive functionals of reversible Markov chains

Christophe Cuny, Magda Peligrad|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可逆マルコフ連鎖の加法的関数へのクエンチド中心極限定理（CLT）を確立し、スペクトル測度にスペクトル条件を課すことにより、ほとんど確実な収束を証明する。ほとんど確実なマーティングルール近似を用いて、π-ほとんど everywhere の初期点 x に対して CLT が成り立つことを示し、デリエンニクとリンが提示した可逆連鎖におけるクエンチド CLT の問題に答え、先行研究を改善する。

ABSTRACT

In this paper we study the almost sure central limit theorem started from a point for additive functionals of a stationary and ergodic Markov chain via a martingale approximation in the almost sure sense. As a consequence we derive the quenched CLT for additive functionals or reversible Markov chains.

研究の動機と目的

• 可逆マルコフ連鎖の加法的関数へのほとんど確実な中心極限定理（クエンチド CLT）を確立すること。
• デリエンニクとリン（2001年）が提起した、可逆連鎖において初期点 x からの分布の下で CLT が成り立つかどうかという問いに答えること。
• 先行研究に比べてスペクトル条件を弱めることで、クエンチド CLT に関する既存の結果を改善すること。
• 一般の正規マルコフ連鎖に対しては、より強いスペクトル仮定がなければ、この結果が拡張されないことを示すこと。

提案手法

• 加法的関数の剰余項を分析するために、ほとんど確実なマーティングルール近似を用いる。
• チェインジングの議論から導かれる最大不等式（補題17）を適用し、部分和のほとんど確実な挙動を制御する。
• 一般の解析的道具（補題18）を用いて、分散増分の積分的評価により部分和の最大値を推定する。
• 遷移作用素のスペクトル測度の分析に依存し、分散 σ_f² に対して ∫_{-1}^{1} (1+t)/(1-t) ρ_f(dt) < ∞ という条件に注目する。
• 正規化された部分和過程 W_n(t) = S_{[nt]}/√n が、標準ブラウン運動 W(t) に分布収束することを示す。
• 結果をコンパクト群上のランダムウォークおよび1次元トーラス上のランダムウォークに適用し、具体的な例で条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル条件 ∫_{-1}^{1} (1+t)/(1-t) ρ_f(dt) < ∞ が最小限であると仮定した場合、可逆マルコフ連鎖の加法的関数に対するクエンチド CLT は成り立つか？
• RQ2 定常測度の下ではなく、典型的な点 x からの出発に対して、ほとんど確実な中心極限定理が確立可能か？
• RQ3 同じスペクトル条件のもとで、一般の正規マルコフ連鎖に対してもクエンチド CLT が成り立つか、それともより強い仮定が必要か？
• RQ4 最小限のスペクトル条件の下で、クエンチド CLT を保証するために、可逆性が果たす役割は何か？
• RQ5 トーラス上のランダムウォークのような具体的な例では、スペクトル測度条件をどのように検証できるか？

主な発見

• 可逆マルコフ連鎖の加法的関数に対して、スペクトル条件 ∫_{-1}^{1} (1+t)/(1-t) ρ_f(dt) < ∞ を満たせば、π-ほとんど everywhere の初期点 x に対してクエンチド CLT が成り立つ。
• デリエンニクとリン（2001年）およびクヌイ（2009年）の先行研究に比べ、必要な仮定を弱めたことで、結果の改善がなされた。
• 方法論により、π-ほとんど everywhere の x に対して、クエンチド測度 P^x の下で正規化された部分和 S_n / √n が正規分布にほとんど確実に収束することが示された。
• 可逆の場合には、このスペクトル条件がクエンチド CLT の必要十分条件であることが示され、一般の正規連鎖にはより強い仮定がなければ拡張されない。
• 1次元トーラス上の無理数回転を伴うランダムウォークでは、CLT が成り立つための条件として ∑_{n≠0} |f̂(n)|² (log⁺ |log{na}²|)² / {na}² < ∞ が得られ、これがスペクトル条件を満たすことを保証する。
• 本稿は、フーリエ解析とスペクトル測度推定を用いて、具体的なモデルでクエンチド CLT を検証するための一般枠組みを提供する。