[論文レビュー] Central Limit Theorems for General Transportation Costs

Eustasio del Barrio, Alberto González-Sanz+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Point processes and geometric inequalities参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^d$ 上の一般の標本分布と目標分布の間の最適輸送コストについて、最小限のモーメントおよび正則性条件の下で中心極限定理（CLT）を確立する。Efron-Steinの不等式と $L_2(\mathbb{P})$ 上の弱コンパクト性を用いて、従来の結果を一般の強凸コスト関数および任意の次元にまで拡張する、新たな証明を提示する。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal transportation with general cost between a empirical measure and a general target probability on R d , with d $\ge$ 1. We extend results in [19] and prove asymptotic stability of both optimal transport maps and potentials for a large class of costs in R d. We derive a central limit theorem (CLT) towards a Gaussian distribution for the empirical transportation cost under minimal assumptions, with a new proof based on the Efron-Stein inequality and on the sequential compactness of the closed unit ball in L 2 (P) for the weak topology. We provide also CLTs for empirical Wassertsein distances in the special case of potential costs | $\bullet$ | p , p > 1.

研究の動機と目的

• 標本分布と一般の目標確率測度の間の最適輸送コストに関する中心極限定理を確立すること。
• $p$-Wasserstein距離に関する従来のCLT結果を、一般の強凸コスト関数にまで拡張すること。
• 基礎となる測度に最小限のモーメントおよび正則性条件が課された下で、輸送コストの漸近正規性を示すこと。
• Efron-Steinの不等式と $L_2(\mathbb{P})$ 上の逐次コンパクト性に基づく、新たな証明戦略を提供すること。
• 高次元における一般のコスト関数に対して、最適輸送写像およびポテンシャルの安定性を保証すること。

提案手法

• Efron-Steinの不等式を用いて分散を制御することで、標本輸送コスト $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ に対する中心極限定理を導出する。
• 弱位相における $L_2(\mathbb{P})$ の閉単位球の逐次コンパクト性を用いて収束を確立する。
• 凸性および超微分の推定を用いて、最適輸送写像およびポテンシャルの安定性を分析する。
• 交換可能性および Hölder の不等式を用いて、1つの標本がコストに与える影響を評価する。
• MongeとKantorovichの定式化の双対性を応用して、最適な計画および写像を特徴付ける。
• コスト関数 $c$ に関する仮定 (A1)–(A3) に依存する。これらには、強凸性および共役関数 $h$ の成長条件が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本輸送コスト $\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ は、最小限のモーメントおよび正則性条件の下で中心極限定理を満たすか？
• RQ2 一般の強凸コスト関数に対して、$\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ の漸近分布が正規分布であることを示せるか？
• RQ3 Efron-Steinの不等式は、輸送コストのCLTを証明する際に果たす役割は何か？
• RQ4 $L_2(\mathbb{P})$ 上の単位球の弱コンパクト性は、漸近正規性の証明をどのように支援するか？
• RQ5 標本測度の摂動に対して、最適輸送写像およびポテンシャルが安定するのはどのような条件下か？

主な発見

• 本論文は、$P$ および $Q$ に対して最小限の仮定が課された下で、$\mathcal{T}_c(P_n, Q)$ に対する中心極限定理を確立し、極限分布が正規分布であることを示した。
• Efron-Steinの不等式と $L_2(\mathbb{P})$ 上の弱コンパクト性を用いた証明手法は、最適輸送におけるCLTに対して、新規かつ強固なアプローチを提供する。
• $\mathbb{R}^d$ 上の一般コスト関数の広いクラスに対して、最適輸送写像およびポテンシャルの安定性が証明された。
• 極限分布は正規分布であり、一般の強凸コスト関数の下で輸送コストの漸近正規性が確認された。
• 従来のCLT結果（$p=2$ および一変数設定）を、一般の次元および強凸コスト関数にまで拡張した。
• 解析により、非退化な正規極限分布を得るためには、コスト関数の強凸性が最小限の要件であることが確認された。