[論文レビュー] Chain transitive sets for smooth strongly monotone dynamical systems

Morris W. Hirsch|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、順序付きバナッハ空間上の滑らかで強く単調な力学系について、任意のコンパクトで鎖的転送可能な不変集合が、順序付けられていないか、または写像のm回繰り返しの下で全順序の固定点の弧であることを確立している。もし系が実解析的かつ散逸的であれば、このような弧は存在できず、これはR³のような有限次元の場合にトポロジカル・エントロピーがゼロであることを示唆する。

ABSTRACT

Let K denote a compact invariant set for a strongly monotone semiflow in an ordered Banach space E, satisfying standard smoothness and compactness assumptions. Suppose the semiflow restricted to K is chain transitive. The main result is that either K is unordered, or else K is contained in totally ordered, compact arc of stationary points; and the latter cannot occur if the semiflow is real analytic and dissipative. As an application, entropy is 0 when E = R^3 . Analogous results are proved for maps. The main tools are results of Mierczynski [27 ] and Terescak [37 ]

研究の動機と目的

• 滑らかで強く単調な力学系におけるコンパクトで鎖的転送可能な不変集合の構造を特徴づけること。
• このような集合が写像のm回繰り返しの下で全順序の固定点の弧を含むことができるかどうかを特定すること。
• 特に実解析的かつ散逸的の場合に、これらの集合が順序付けられていないことを示す条件を確立すること。
• 状態空間がR³の場合に、与えられた滑らかさと単調性条件のもとでトポロジカル・エントロピーがゼロであることを証明すること。

提案手法

• Tereščákの定理を用いて、一般に漸近的周期mが有効であり、初期点の残渣集合に対してω極限集合がm周期軌道であることを保証する。
• Mierczyńskiのp-弧の概念を適用する——S^mの下で滑らかで全順序的かつコンパクトな固定点の弧で、強い単調性と順序コンパクト性の仮定を満たすもの。
• 強い単調性を用いて、異なる鎖的転送成分に属する点が比較可能であれば、吸引子が存在することを示し、吸引子なしの仮定と矛盾することを証明する。
• コンパクト性と順序区間の構造を用いて、任意の鎖的転送集合が順序付けられていないか、またはS^mの下で静的なp-弧の軌道の和集合であることを証明する。
• Conley理論の結果を適用して、鎖的転送性を不変コンパクト集合に proper attractor が存在しないことと同等にする。
• 半力学系への適用のために、Smith-Thiemeの結果を適応する——一般に軌道は均衡に収束する。離散的周期構造の代わりに、均衡への収束を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで強く単調な力学系におけるコンパクトで鎖的転送可能な不変集合が、写像のm回繰り返しの下で全順序の固定点の弧を含む条件は何か？
• RQ2 実解析的動力学と散逸性を有するこのような系が、鎖的転送集合内で全順序の固定点の弧を含むことができるか？
• RQ3 滑らかで強く単調な半力学系がR³上で定義されるとき、そのトポロジカル・エントロピーは何か？ そして、鎖的転送集合の構造とどのように関係するか？
• RQ4 上位吸引的周期軌道と下位吸引的周期軌道の概念は、順序付けられていない吸引子なし集合の安定性と構造にどのように影響するか？
• RQ5 一般に漸近的周期mが、このような系における軌道の長期的挙動をどの程度決定づけるか？

主な発見

• 滑らかで強く単調な写像に対して、コンパクトで鎖的転送可能な不変集合Kは、順序付けられていないか、またはS^mの下で静的なp-弧の軌道の和集合である。
• 写像が実解析的かつ散逸的であれば、このようなp-弧は存在できず、Kは順序付けられていなければならない。
• 状態空間がR³の場合、鎖的転送集合内に周期軌道が存在しないことから、トポロジカル・エントロピーはゼロである。
• 上位吸引的m周期軌道でない順序付けられていない吸引子なし集合に対しては、その集合を上方に支配する下位吸引的m周期点の軌道が存在する。
• 半力学系の場合、一般に軌道は均衡に収束し、同様の構造的二分法が成立する：Kは順序付けられていないか、または均衡の全順序の弧に含まれる。
• 証明はKに吸引子が存在しないことに依拠しており、強い単調性とコンパクト性のもとで、異なる成分の点が比較可能であると仮定すると矛盾が生じる。