[論文レビュー] Characterization and inference of weighted graph topologies from observations of diffused signals.

Bastien Pasdeloup, Vincent Gripon+3 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、拡散された信号の観測から重み付きグラフのトポロジーを推定する手法を提案する。信号を初期に独立したソースとしてモデル化し、それが拡散過程を経て変化するものとする。妥当なグラフ空間が凸多面体を形成することを示し、線形計画法を用いてスパースまたは単純なグラフを選択することで、理想的な状況では正確な回復が達成され、観測数が限られている場合でも高い精度を示す。この手法は合成データおよび音声データで検証された。

ABSTRACT

In the field of signal processing on graphs, a key tool to process signals is the graph Fourier transform. Transforming signals into the spectral domain is accomplished using the basis of eigenvectors of the graph Laplacian matrix. Such a matrix is dependent on the topology of the graph on which the signals are defined. Therefore it is of paramount importance to have a graph available. We consider the problem of inferring the graph topology from observations of signals. In this article we model the observations as being measured after a few steps of diffusing signals that are initially mutually independent and have independent entries. We propose a way to characterize and recover the possible graphs used for this diffusion. We show that the space of feasible matrices on which mutually independent signals can have evolved, based on the observations, is a convex polytope, and we propose two strategies to choose a point in this space as the topology estimate. These strategies enforce the selection of graphs that are, respectively, simple or sparse. Both methods can be formulated as linear programs and hence solved efficiently. Experiments suggest that in the ideal case when we are able to retrieve the exact covariance matrix of the signal, we are able to recover the graph on which the signals were diffused, with no error. We also apply our method to a synthetic case in which a limited number of signals are obtained by diffusion on a known graph, and show that we are able to recover a graph that is very close to the ground truth one, with an error decreasing as the number of observations increases. Finally, we illustrate our method on audio signals, and show that we are able to recover a graph that is globally one-dimensional.

研究の動機と目的

• 拡散過程を経て変化した観測信号から、元のグラフトポロジーを再構築する課題に取り組む。
• 信号観測値を、互いに独立した初期信号から少数の拡散ステップを経て得られたものとしてモデル化する。
• 観測された信号の共分散と整合する可能性のあるグラフラプラシアン行列の集合を特徴付ける。
• スパarsityや単純さを優先するような、妥当な解集合からトポロジー推定値を選択する効率的な推定戦略を開発する。
• 合成データおよび実際の音声信号に対して手法を検証し、観測数が増加するにつれて正確な回復が達成されることを示す。

提案手法

• 観測信号を、独立した初期信号（i.i.d. 要素を有する）から少数の拡散ステップを経て得られたものとしてモデル化する。
• 観測された信号共分散が拡散過程と一致するようなグラフラプラシアン行列を特定する問題として定式化する。
• 観測共分散と整合する妥当なラプラシアン行列の集合が凸多面体を形成することを示す。
• 2つの線形計画法の定式化を提案：1つは妥当なグラフの中で最もスパースなものを選ぶもの、もう1つは最も単純（例：最小のエッジ重み）なものを選ぶもの。
• グラフラプラシアンの固有値分解を用いてグラフフーリエ変換を定義し、拡散信号のスペクトル領域表現と関連付ける。
• 妥当解の多面体的構造を活用し、凸最適化を用いて効率的に推論問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散過程下で観測された信号共分散を生成できそうなグラフトポロジーの集合は何か？
• RQ2 スパarsityや単純さといった構造的事前知識を反映する1つのグラフトポロジーを、妥当な解集合から効率的に同定できるか？
• RQ3 信号共分散が正確に分かっている場合、真のグラフはどの程度正確に回復できるか？
• RQ4 有限標本設定下で、観測された拡散信号の数が増加するにつれて回復精度はどのように向上するか？
• RQ5 本手法は、音声などの現実世界の信号から意味的で解釈可能なグラフ構造を回復できるか？

主な発見

• 信号共分散行列が正確に分かっている理想状況では、本手法はゼロの誤差で真のグラフトポロジーを回復する。
• 有限の観測信号数がある場合、観測数が増加するにつれて回復誤差が減少し、一貫性が示された。
• 音声信号に適用した際、本手法は全体として1次元的であるグラフ構造を効果的に回復した。これは音声の時間的性質と整合的である。
• スパースおよび単純なグラフ選択のための提案された線形計画法の定式化は、計算的に効率的であり、高品質なトポロジー推定をもたらした。
• 妥当なグラフの集合が凸多面体であることが証明され、堅牢で構造的な推論が可能になった。
• 合成データに対する実験結果から、推定されたグラフは真値に非常に近く、標本数が増えるほど性能が向上することが示された。