[논문 리뷰] Characterization of multipartite entanglement in terms of local transformations

Youming Qiao, Xiaoming Sun외 1명|UTS ePRESS (University of Technology Sydney)|2014. 01. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 유니터리 불변 다항식(LUIPs)을 구성하는 알고리즘을 제안하고, 국소 유니터리 및 국소 일반선형군에 대한 불변 다항식 링의 생성자에 대한 다항식 상한을 증명함으로써 다중편성 얽힘을 완전히 특성화한다. 주요 기여는 다중편성 얽힘이 가환적임을 보여주는 것이다: 두 상태가 LU-동치이면, 어떤 r에 대해 그들의 r중복 복사본 역시 LU-동치이다.

ABSTRACT

The degree of the generators of invariant polynomial rings of is a long standing open problem since the very initial study of the invariant theory in the 19th century. Motivated by its significant role in characterizing multipartite entanglement, we study the invariant polynomial rings of local unitary group---the tensor product of unitary group, and local general linear group---the tensor product of general linear group. For these two groups, we prove polynomial upper bounds on the degree of the generators of invariant polynomial rings. On the other hand, systematic methods are provided to to construct all homogenous polynomials that are invariant under these two groups for any fixed degree. Thus, our results can be regarded as a complete characterization of the invariant polynomial rings. As an interesting application, we show that multipartite entanglement is additive in the sense that two multipartite states are local unitary equivalent if and only if $r$-copies of them are LU equivalent for some $r$.

연구 동기 및 목표

• 국소 유니터리 및 일반선형군에 대한 불변 다항식 링의 생성자에 대한 차수를 제한하는 오랜 동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 임의의 고정된 차수에 대해 모든 동차 LUIPs를 체계적으로 구성하는 방법을 제공하기 위해.
• 다중편성 양자 시스템에 대한 LUIPs의 링을 완전히 특성화하기 위해.
• LU 동치가 가환적임을 증명하기 위해: 두 상태가 LU-동치일 필요충분조건은 어떤 r에 대해 그들의 r중복 복사본이 LU-동치임을 보여주기 위해.
• 혼합 상태로의 확장을 위해 일항 SLOCC 동치를 통해 프레임워크를 확장하고, SL-불변 다항식을 계산하는 대체 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 하위계에서 작용하는 국소 유니터리 군에 대한 불변 다항식 다항식의 부분환의 교차로 LUIPs의 링을 구성하기.
• 각 당사자에 대해, 유한차원 부분공간의 교차 기법을 사용하여 그 국소 유니터리 군에 대한 불변 동차 다항식의 링을 계산하기.
• 특히 행렬 반불변량을 활용하여 현대 불변 이론 기법을 적용하여 생성자에 대한 다항식 상한을 도출하기.
• 다변수 다항식 항등식에서 계수 비교 기법을 사용하여 저차수(LUIPs, 예: 차수 2와 4)의 LUIPs를 명시적 예제에서 계산하기.
• 국소 유니터리 및 국소 일반선형 군의 텐서곱 군의 구조를 활용하여 순수 상태를 초월한 일반화된 결과 도출하기.
• 순수 상태에 대한 SL-불변 다항식(SLIPs)을 계산하는 대체 알고리즘을 유도하기 위해 프레임워크를 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n편성 양자 시스템에 대해 국소 유니터리 불변 다항식(LUIPs)의 링을 생성하는 데 필요한 최소 차수 상한은 무엇인가?
• RQ2 임의의 다중편성 시스템에 대해 고정된 차수의 모든 LUIPs를 생성하는 체계적인 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ3 다중편성 양자 상태의 LU 동치성은 어떤 r에 대해 그들의 r중복 텐서 복사본의 LU 동치성과 동치인가?
• RQ4 국소 일반선형군에 대한 불변 다항식 링은 어떻게 특성화할 수 있으며, 그 차수 상한은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 일항 SLOCC 동치를 통해 혼합 상태로 확장할 수 있으며, SLIP 계산도 가능한가?

주요 결과

• 국소 유니터리 및 국소 일반선형군에 대한 불변 다항식 링의 생성자에 대한 다항식 상한이 처음으로 확립되었다.
• 유한차원 불변 다항식 부분공간의 교차를 통해 임의의 고정된 차수의 모든 동차 LUIPs를 체계적으로 구성하는 알고리즘이 제시되었다.
• 두 큐비트 순수 상태에 대해 LUIPs의 링은 차수 2와 차수 4의 불변량으로 완전히 생성되며, 밀도 행렬의 트레이스와 그 제곱 등이 포함된다.
• 차수 2 LUIP은 상태 벡터의 노름 제곱이다: $ \langle\psi|\psi\rangle = \sum_{ij}|x_{ij}|^2 $, 그리고 차수 4 LUIPs에는 $ \mathrm{tr}^2(\rho_A) $와 $ \mathrm{tr}^2(\rho_B) $ 등이 포함된다.
• 논문은 다중편성 얽힘이 가환적임을 증명한다: 두 상태가 LU-동치일 필요충분조건은 어떤 r에 대해 그들의 r중복 복사본이 LU-동치임을 보여준다.
• 이 프레임워크는 Gour와 Wallach의 2013년 방법과는 다릅니다만, 순수 상태에 대한 SL-불변 다항식(SLIPs)을 계산하는 대체 알고리즘을 가능하게 한다.