[論文レビュー] Cheeger constant, $p$-Laplacian, and Gromov-Hausdorff convergence

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 43被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体の下付きリッチ曲率境界を持つ極限空間における、Gromov-Hausdorff位相およびパラメータ $ p $ に関する $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ の連続性と上半連続性を確立する。主な結果は、$ p $ に依存しないスケール不変な両側推定 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $ であり、これはCheegerおよびBuserの不等式を一般化し、新しいLichnerowicz-Obata型定理を導く。

ABSTRACT

We discuss the behavior of $(λ_{1. p}(M))^{1/p}$ with respect to the Gromov-Hausdorff topology and the variable $p$, where $λ_{1, p}(M)$ is the first positive eigenvalue of the $p$-Laplacian on a compact Riemannian manifold $M$. Applications include new estimates for the first eigenvalues of the $p$-Laplacian on Riemannian manifolds with lower Ricci curvature bounds, and isoperimetric inequalities on Gromov-Hausdorff limit spaces. We also establish a new Lichnerowicz-Obata type theorem.

研究の動機と目的

• コンパクトな距離測度空間でリッチ曲率の下界がある場合の $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ のGromov-Hausdorff収束における挙動を分析すること。
• 次元 $ n $ のリーマン多様体で直径およびリッチ曲率の下界があるもののGromov-Hausdorffコンパクト化上での写像 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ の連続性および上半連続性を確立すること。
• リッチ曲率 $ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ を満たす多様体上での $ p $-ラプラシアン固有値の新しいスケール不変推定を導出すること。
• リッチ曲率が有界な多様体の極限空間上での $ p $-ラプラシアン固有値に対する新しいLichnerowicz-Obata型定理を証明すること。

提案手法

• コンパクトな距離測度空間上でのMinkowski外部境界測度を用いて、Cheeger定数 $ h(X) $ を定義する。
• $ L^p $-正規化および $ L^{p-2} $-直交性の下でのリプシッツ関数の $ L^p $-セミノルムの下界として、$ p $-ラプラシアン固有値 $ \lambda_{1,p}(X) $ を定義する。
• $ p=1,\, 1<p<\infty,\, p=\infty $ のそれぞれに対し、関数 $ F((Y,\nu),p) $ を、$ h(Y) $, $ (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $, $ 2/(\mathrm{diam}\,Y) $ を統合するものとする。
• モデル空間（例：$ \mathbf{S}^n $）との比較と収束の議論を用いて、$ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 上での $ F $ の上半連続性および連続性を証明する。
• 比較幾何学および球面上の固有関数の径数的対称性を用い、$ \mathbf{S}^n $ から引き戻されたテスト関数により $ \lambda_{1,p}(X) $ を評価する。
• 関数 $ F $ の連続性を応用し、定量的安定性推定を導出する：ある $ q \geq p $ に対して $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ が $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $ に近いならば、すべての $ \hat{q} \geq p $ に対して $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ は $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $ に一様に近くなる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から有界なコンパクトリーマン多様体のGromov-Hausdorff収束下で、量 $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ はどのように振る舞うか？
• RQ2 写像 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ は、このような多様体のGromov-Hausdorffコンパクト化上で連続または上半連続か？
• RQ3 リッチ曲率および直径の下界がある下で、$ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ のスケール不変な両側推定を $ p $ に依存しない形で得られるか？
• RQ4 $ p \to \infty $ のとき、$ p $-ラプラシアン固有値 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ は同じ値に収束するか？また、これは直径とどのように関係するか？
• RQ5 関数 $ F $ の連続性を用いて、異なる $ p $-値間での固有値の定量的安定性結果を導出できるか？

主な発見

• 関数 $ F((Y,\nu),p) $ は $ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 上で上半連続であり、$ \overline{M(n,K,d)} \times (1,\infty] $ 上で連続である。これは、ラプラシアン固有値連続性に関する先行研究を一般化する。
• 任意の $ n $ 次元のコンパクトリーマン多様体 $ M $ に対して、$ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ および $ (\mathrm{diam}\,M)^2 \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ を満たすとき、すべての $ 1 < p < \infty $ に対して、定数が $ n $ および $ K $ のみに依存する一様な推定 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $ が成り立つ。
• $ F $ の連続性より、ある $ q \geq p $ に対して $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ が $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $ に近いならば、すべての $ \hat{q} \geq p $ に対して $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ は $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $ に一様に近くなり、誤差は関数 $ \Psi(\epsilon; n, p) $ によって有界である。
• 本稿では、新しいLichnerowicz-Obata型定理を証明する：ある $ p \in (1,\infty] $ に対して $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $ ならば、$ M $ は標準球面 $ \mathbf{S}^n $ に等長である。
• Grosjeanの極限 $ \lim_{p \to \infty} (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $ をGromov-Hausdorff位相に拡張し、その安定性を確立する。
• 証明は、極限空間上での径数的テスト関数の構成と、$ \mathbf{S}^n $ 上の固有関数との比較に依拠し、Coldingの体積比較およびLévy-Gromovの等周的不等式による測度比較を用いる。