[論文レビュー] Cheeger-Gromov compactness for manifolds with boundary

Olaf Müller|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高さ関数を用いてハミルトンの境界なしコンパクト性定理に帰着させることで、$(c,k+1)$-有界幾何構造を満たす境界付き点付きリーマン多様体の列に対して、チーバー＝グロモフコンパクト性を確立する。主な結果は、境界への基準点からの距離が一様に有界である限り、このような列が$C^k$-収束により境界付き極限多様体に収束することである。

ABSTRACT

We prove Cheeger-Gromov convergence for a subsequence of a given sequence of manifolds-with-boundary of bounded geometry. The method of the proof is to reduce, via height functions, the problem to the setting of Hamilton's compactnes theorem for manifolds without boundary.

研究の動機と目的

• 境界なし多様体における既知の結果を拡張し、境界付き多様体の列に対してチーバー＝グロモフコンパクト性を確立すること。
• 先行する境界付き多様体のコンパクト性結果における直径の有界性や固定トポロジーの欠如を是正すること。
• $(c,k+1)$-有界幾何構造下でも、極限多様体が非コンパクトであっても$C^k$-部分収束が成立することを示すこと。
• 基準点から境界までの距離が一様に有界である場合、極限多様体が空でない境界を有することを保証すること。

提案手法

• 各多様体$M_i$上に高さ関数$f_i$を構成することで、境界付き多様体のコンパクト性問題を境界なしの場合に還元する。
• 正規指数写像を用いて各$M_i$を境界なしのより大きな多様体$X_i$に拡張し、幾何的境界を保つ。
• 拡張された列$(X_i, ar{g}_i, x_i^0, f_i)$に対してハミルトンのコンパクト性定理を適用し、拡張された多様体および高さ関数の$C^k$-収束を保証する。
• 高さ関数の勾配フローを用いて微分同相写像$D_i^r$を構成し、$X_i^{f_i}$（元の$M_i$に対応）上の$C^k$-収束を誘導する。
• 測地線補間を用いて微分同相写像を補正し、コンパクト集合上で$C^k$位相における収束を保証する。
• 曲率、自己同型半径、第二基本形式の均一有界性を活用し、リーマン計量およびその微分の収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な直径の有界性や固定トポロジーを仮定せずに、境界付き多様体の列に対してチーバー＝グロモフコンパクト性を確立できるか？
• RQ2 どのような幾何的条件下で、点付き境界付き多様体の列が$C^k$-位相で境界付き極限多様体に部分収束するか？
• RQ3 境界なし多様体のコンパクト性結果（ハミルトンの定理）を、適切な幾何的還元により境界付きの場合に適応可能か？
• RQ4 基準点から境界までの距離が、極限多様体が非空な境界を有するかどうかを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 高さ関数をどのように用いることで、境界の幾何を制御し、誘導される計量の$C^k$-収束を保証できるか？

主な発見

• $(c,k+1)$-有界幾何構造を満たす点付き$n$次元境界付き多様体の列は、$C^k$-位相で、$k$次までの有界幾何構造を持つ極限多様体$(M_∞, g_∞, x_∞^0)$に部分収束する。
• 列$\{d_i(x_i^0, \partial M_i)\}$が一様有界である限り、極限多様体は空でない境界を有する。
• 証明は、境界付き多様体を高さ関数を用いて境界なし多様体に拡張することで、ハミルトンのコンパクト性定理の適用を可能にする。
• 勾配フローと測地線補間を用いて$C^k$-収束する微分同相写像を構成することで、チーバー＝グロモフ収束を達成する。
• 極限高さ関数のゼロ点集合の存在により、基準点が境界から一様に離れている場合、極限多様体の境界が非空であることが保証される。
• 極限多様体が非コンパクトであっても、直径の均一有界性や固定トポロジーの仮定が不要である。