[論文レビュー] Chern-Simons Forms and Higher Character Maps of Lie Representations

Yuri Berest, Giovanni Felder+3 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可換 Lie 代数の de Rham 形式に対する標準的な微分作用素を確立する一方で、Lie表現理論におけるDrinfeldトレースの明示的公式を、畳み込みDG代数におけるChern-Simons形式を用いて提示する。主な貢献は、Cartanデータ (h, W, P) のみに依存する、削減されたトレース写像 Trh(a) の組合せ的公式であり、これは古典的Lie代数のHarish-Chandraの擬同型予想が安定極限において正当化される際に中心的な役割を果たす。

ABSTRACT

This paper is a sequel to our earlier work [BFPRW], where we study the derived representation scheme DRep_{g}(A) parametrizing the representations of a Lie algebra A in a finite-dimensional reductive Lie algebra g. In [BFPRW], we defined two canonical maps Tr_{g}(A): HC^{(r)}(A) o \H[\DRep_{g}(A)]^G and Φ_{g}(A): H[\DRep_{g}(A)]^G o H[\DRep_{h}(A)]^W called the Drinfeld trace and the derived Harish-Chandra homomorphism, respectively. In this paper, we give an explicit formula for the Drinfeld trace in terms of Chern-Simons classes of a canonical g-torsor associated to the pair (A, g). Our construction is inspired by (and, in a sense, dual to) the classical construction of `additive regulator maps' due to Beilinson and Feigin. As a consequence, we show that, if A is an abelian Lie algebra, the composite map Phi_{g}(A) Tr_{g}(A) is represented by a canonical differential operator acting on differential forms on Sym(A) and depending only on the Cartan data (h, W, P), where P is a W-invariant polynomial on h. We derive a combinatorial formula for this operator that plays an important role in the study of derived commuting schemes in [BFPRW].

研究の動機と目的

• Lie代数の導来表現スキームにおけるChern-Simons形式を用いて、Drinfeldトレースの明示的公式を提供すること。
• 可換Lie代数に対して、合成写像 Φg(a) ◦ Trg(a) と呼ばれる削減されたトレース Trh(a) が、Cartanデータ (h, W, P) のみに依存することを示すこと。
• Chevalley同型を用いて、対称代数 Sym(a) 上の微分形式に作用する削減されたトレース作用素の組合せ的公式を導出すること。
• ホモロジー的摂動を介して、A∞-擬同型写像とChern-Simons形式の間の関係を確立し、新しい組合せ的恒等式を導出すること。
• Beilinsonの加法的レジスターマップのスケッチを明確化・完成させ、詳細な導出を提示し、Telemanの公式と同等であることを示すこと。

提案手法

• a をDG Lie代数、g を再帰的Lie代数とする対 (a, g) に自然に付随する畳み込みDG代数を構成すること。
• この畳み込み代数におけるChern-Simons形式を用いて、Drinfeldトレース写像 Trg(a) : HC(r)•(a) → H•(a, g)^G を定義し、古典的特徴写像を一般化すること。
• 削減されたトレース Trh(a) = Φg(a) ◦ Trg(a) が、Sym(a) のde Rham複体上の標準的W不変微分作用素を経由して因数分解されることを証明すること。
• A∞-擬同型写像の成分に基づき、二分木の同値類に関する対称化された和を用いて、この作用素の明示的組合せ的公式を導出すること。
• ホモロジー的摂動補題を適用して、A∞-成分を木に基づく和に変換し、Chern-Simons形式と比較することで、新しい恒等式を導出すること。
• Beilinsonの加法的レジスターマップのスケッチを再構成・完成させ、Telemanの公式がこの構成から自然に生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来表現スキームにおけるChern-Simons形式を用いて、Drinfeldトレース写像をどのように明示的に表現できるか？
• RQ2 可換Lie代数に対して、合成写像 Φg(a) ◦ Trg(a) の構造は何か？また、Cartanデータ (h, W, P) にどのように依存するか？
• RQ3 Sym(a) 上のde Rham形式に作用する、削減されたトレース Trh(a) を計算する標準的微分作用素を構成できるか？
• RQ4 A∞-擬同型写像の成分とChern-Simons形式を比較することで、どのような組合せ的恒等式が得られるか？
• RQ5 Beilinsonの加法的レジスターマップのスケッチは、Chern-Simons形式およびTelemanの公式とどのように関係しているか？

主な発見

• Drinfeldトレース Trg(a) は、対 (a, g) に付随する畳み込みDG代数におけるChern-Simons形式として明示的に与えられ、トレース写像の幾何的実現を提供する。
• 可換Lie代数に対しては、削減されたトレース Trh(a) が、Sym(a) のde Rham複体に作用する標準的W不変微分作用素として与えられ、Cartanデータ (h, W, P) のみに依存する。
• この作用素の組合せ的公式が導出され、符号と対称化を係数とする二分木の同値類に関する和として表現される。
• Trh(a) の公式が、[4]で用いられたものと同等であり、古典的Lie代数のHarish-Chandraの擬同型予想が安定極限において正当化されることを確認する。
• A∞-成分の二分木に関する和が、明示的なChern-Simons形式と等価であるという新しい組合せ的恒等式が確立され、ホモロジー代数と特徴類の間の関係を裏付ける。
• 本論文は、Beilinsonの加法的レジスターマップのスケッチを完成させ、Telemanの公式が同一の構成から自然に生じることを示し、Chern-Simons形式を用いた加法的レジスターマップの完全な導出を提供する。