[논문 리뷰] Chiral algebras of class $\mathcal{S}$ and Moore-Tachikawa symplectic varieties

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 05.

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한 줄 요약

이 논문은 BRST 코homology를 이용해 고리수 0인 Moore-Tachikawa 심플렉틱 다양체에 대한 함자적이고 측정 가능한 양자화를 구축하며, 임의의 복소 단순군 $G$에 대해 유일한 단순하고 등온성인 정점 대수 $υ^{/mathcal{S}}_{G,b}$의 가닥을 확립한다. 이러한 정점 대수의 관련 다양체들이 기하학적 L-군 이중성에 의해 구성된 $W^b_G$ 심플렉틱 다양체들과 정확히 일치함을 보이며, 이는 $\mathcal{S}$ 이론에 대한 4차원/2차원 이중성의 수학적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We give a functorial construction of the genus zero chiral algebras of class $\mathcal{S}$, that is, the vertex algebras corresponding to the theory of class $\mathcal{S}$ associated with genus zero pointed Riemann surfaces via the 4d/2d duality discovered by Beem, Lemos, Liendo, Peelaers, Rastelli and van Rees in physics. We show that there is a unique family of vertex algebras satisfying the required conditions and show that they are all simple and conformal. In fact, our construction works for any complex semisimple group G that is not necessarily simply laced. Furthermore, we show that the associated varieties of these vertex algebras are exactly the genus zero Moore-Tachikawa symplectic varieties that have been recently constructed by Braverman, Finkelberg and Nakajima using the geometry of the affine Grassmannian for the Langlands dual group.

연구 동기 및 목표

• 임의의 복소 단순군 $G$에 대해 단순 끈이 아닌 경우를 포함한 고리수 0의 $\mathcal{S}$ 계열 측정 대수에 대한 함자적이고 수학적으로 엄밀한 구축을 제공한다.
• 이 정점 대수가 측정 양자 모멘트 맵을 통한 4차원/2차원 이중성 공리계를 만족함을 확립한다.
• 구축된 정점 대수의 관련 다양체가 애초에 아핀 그라스만이안과 기하학적 사타케 대응에 의해 유도된 고리수 0의 Moore-Tachikawa 심플렉틱 다양체 $W^b_G$와 정확히 일치함을 증명한다.
• 상대적인 무한 반무한 코homology를 통해 연관성 조건을 검증하고 물리적 4차원/2차원 이중성의 구조와 일치함을 확인한다.

제안 방법

• 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$를 BRST 복합체의 코homology로 구축하며, 아핀 리 대수에 대한 Ginzburg-Kazhdan 방법을 일반화한다.
• 비판적 수준의 보편 아핀 정점 대수 $V^{\kappa_c}(\mathfrak{g})$와 양자화된 Drinfeld-Sokolov 감소 $H_{DS}^0$를 사용하여 정점 대수를 정의한다.
• 대칭성 $G^b$를 코딩하는 측정 양자 모멘트 맵 $\bigotimes_{i=1}^b V^{\kappa_c}(\mathfrak{g}) \to \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$를 구현한다.
• 상대적인 무한 반무한 코hom로 $H^{\frac{\infty}{2}+\bullet}(\widehat{\mathfrak{g}}_{-\kappa_{\mathfrak{g}}}, \mathfrak{g}, \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b} \otimes \mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b'})$를 적용하여 4차원/2차원 이중성의 연관성 구조를 표현한다.
• Langlands 이중군 $\check{G}$의 아핀 그라스만이안 $\mathrm{Gr}_{\check{G}}$의 기하학과 기하학적 사타케 대응을 이용하여 심플렉틱 다양체 $W^b_G$를 정의한다.
• 공리 조건 (1)과 (2)를 통해 유일성을 검증하고, 임베디드 고차원 최고 무게 모듈 $\mathbb{V}_\lambda$와 와일 모듈을 사용하여 특성 공식을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고리수 0의 $\mathcal{S}$ 이론에 대해, $G$가 단순 끈이 아닐 경우에도 4차원/2차원 이중성 공리계를 만족하는 정점 대수의 유일한 가닥이 존재하는가?
• RQ2 구축된 정점 대수의 관련 다양체가 아핀 그라스만이안과 기하학적 사타케에 의해 유도된 Moore-Tachikawa 심플렉틱 다양체 $W^b_G$와 정확히 일치하는가?
• RQ3 측정 양자 모멘트 맵과 상대적인 무한 반무한 코homology를 통한 연관성 조건이 함자적이고 코hom로의 프레임워크에서 실현 가능한가?
• RQ4 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$의 명시적 특성 공식은 무엇이며, 이는 $\widehat{\mathfrak{g}}_{\kappa_c}$의 표현 이론을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 모든 $b \geq 1$과 모든 복소 단순군 $G$에 대해 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$는 단순하고 등온성인가?

주요 결과

• 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$는 공리 (1)과 (2)에 의해 유일하게 결정되며, $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,1} \cong H_{DS}^0(\mathcal{D}^{ch}_G)$ 및 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,2} \cong \mathcal{D}^{ch}_G$이다.
• 모든 $b \geq 1$과 임의의 복소 단순군 $G$에 대해 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$는 단순하고 등온성이다. 단순 끈이 아닌 군들 또한 포함된다.
• 관련 다양체 $X_{\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}}$는 아핀 그라스만이안과 기하학적 사타케에 의해 구성된 Moore-Tachikawa 심플렉틱 다양체 $W^b_G$와 동형이다.
• 정점 대수 $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{G,b}$의 중심 전하 값은 $b\dim\mathfrak{g} - (b-2)\operatorname{rk}\mathfrak{g} - 24(b-2)(\rho|\rho^\vee)$로 주어지며, 이는 등온 대칭성의 확인을 제공한다.
• 특성 공식 (정리 10.5)는 와일 모듈에 대한 곱과 분모 공식의 거듭제곱으로 표현되며, 표현 이론적 구조를 반영한다.
• 특히 $G=SL_2$일 경우, $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_2,4} \cong L_{-4}(D_4)$이며, $X_{L_{-4}(D_4)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ in $D_4$로, $W^4_{SL_2} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$와 일치한다.
• 특히 $G=SL_3$일 경우, $\mathbf{V}^{\mathcal{S}}_{SL_3,3} \cong L_{-3}(E_6)$이며, $X_{L_{-3}(E_6)} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ in $E_6$로, $W^3_{SL_3} \cong \overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$와 일치한다.