[論文レビュー] Classes of operators determined by ordinal indices

Kevin Beanland, Ryan M. Causey+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿はバナッハ空間における順序数添え字付き作用素クラスを導入し、分析する。特に、$β_p^\xi$ および $c_0^\xi$ スプライディングモデルの非保存性を定量化するボーゲイン指数に注目する。特定のクラス、例えば $\ell_p$ および $c_0$ に対する $\omega^\zeta$-指数で定義されるもの—が閉じた作用素イデアルをなすことを確立し、弱コンパクト性指数が $\Pi_1^1$ ランクであることを示し、作用素クラスの記述的集合論的解析を可能にする。

ABSTRACT

We introduce and study the Bourgain index of an operator between two Banach spaces. In particular, we study the Bourgain $\ell_p$ and $c_0$ indices of an operator. Several estimates for finite and infinite direct sums are established. We define classes determined by these indices and show that some of these classes form operator ideals. We characterize the ordinals which occur as the index of an operator and establish exactly when the defined classes are closed. We study associated indices for non-preservation of $\ell_p^ξ$ and $c_0^ξ$ spreading models and indices characterizing weak compactness of operators between separable Banach spaces. We also show that some of these classes are operator ideals and discuss closedness and distinctness of these classes.

研究の動機と目的

• バナッハ空間間の作用素に対して順序数インデックス、特にボーゲイン指数を定義・研究し、バナッハ空間における概念を作用素へ一般化すること。
• 作用素のインデックスとして現れる順序数を特徴付け、関連クラスが閉じているときの条件を同定すること。
• $\ell_p^\xi$ および $c_0^\xi$ スプライディングモデルの非保存性によって定義されるクラスが作用素イデアルをなすかどうかを調査すること。
• 作用素の弱コンパクト性指数が $\mathcal{S}_\xi$-弱コンパクト作用素クラスとどのように関係するかを明らかにし、それらのイデアル構造を確立すること。
• 記述的集合論を用いて作用素クラスの複雑性を分析し、特に標準的ボレル空間上の $\Pi_1^1$ ランクを用いること。

提案手法

• 木構造とシュレーマー族を用いて、特に基本列 $(e_i)$ の非保存性インデックスを含む作用素の順序数インデックスを定義する。
• 色分けと最小木に関する組合せ論的補題を用い、和および直和におけるインデックスの振る舞いを分析する。
• $\mathfrak{NP}_p^\zeta$ および $\mathfrak{SM}_p^\xi$ をそれぞれ $\ell_p^\xi$ や $c_0^\xi$ スプライディングモデルを非保存とする作用素の集合として定義する。
• $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ および $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ が無限順序数 $\zeta$ に対して閉じた作用素イデアルであることを示す。
• 標準空間 $\mathfrak{L}$ 上に $\Pi_1^1$ ランクを構成し、弱コンパクト性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ が $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 上で $\Pi_1^1$ ランクであることを示す。
• $\mathfrak{A} \cap \mathfrak{L}_1$、すなわちノルム $\leq 1$ のアスプルンド作用素の空間上において、作用素のシュレレンク指数を $\Pi_1^1$ ランクに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非保存性インデックス $\leq \zeta$ である作用素のクラスが作用素イデアルであるような順序数 $\zeta$ はどれか？
• RQ2 $\ell_p^\xi$ スプライディングモデルをいかなるものも非保存とする作用素のクラスが閉じた作用素イデアルであるのはいつか？
• RQ3 弱コンパクト性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ は $\mathcal{S}_\xi$-弱コンパクト作用素クラスとどのように関係するか？
• RQ4 弱コンパクト性指数が標準的ボレル空間上の作用素において $\Pi_1^1$ ランクとして表現可能か？
• RQ5 $\mathfrak{L}_1$ 内のノルム $\leq 1$ のアスプルンド作用素のクラスは $\Pi_1^1$ 部分集合か？ また、そのシュレレンク指数は $\Pi_1^1$ ランクか？

主な発見

• $\mathfrak{NP}_1^{\omega^\zeta}$ は各可算順序数 $\zeta$ に対して閉じた作用素イデアルである。
• $\mathfrak{NP}_\infty^\zeta$ は各無限順序数 $\zeta$ に対して閉じた作用素イデアルである。
• $1 \leq p \leq \infty$ に対して、$\bigcup_{\xi < \omega^\zeta} \mathfrak{SM}_p^\xi$ は作用素イデアルをなす。ここで $\mathfrak{SM}_p^\xi$ はいかなる $\ell_p^\xi$ スプライディングモデルも非保存とする作用素の集合である。
• $\mathfrak{SM}_1^\xi$ はすべての可算順序数 $\xi$ に対して閉じた作用素イデアルであり、同様に $\mathfrak{SM}_\infty^\xi$ は閉じた作用素イデアルである。
• 作用素 $A$ が $\mathcal{S}_\xi$-弱コンパクトであることは、$A$ が弱コンパクトかつ $A \in \mathfrak{SM}_1^\xi$ であることと同値である。したがって、$\mathcal{S}_\xi$-弱コンパクト作用素は閉じたイデアルをなす。
• 弱コンパクト性指数 $\textbf{WC}(A,X,Y)$ は $\mathfrak{WC} \cap \mathfrak{L}$ 上で $\Pi_1^1$ ランクであり、$\textbf{WC}(A,X,Y) \leq \xi$ および $\textbf{WC}(B,X,Y) \leq \zeta$ ならば $\textbf{WC}(A+B,X,Y) \leq \varphi_{\text{WC}}(\xi,\zeta)$ を満たす関数 $\varphi_{\text{WC}}$ が存在する。