[論文レビュー] Classical and quantum spaces as rough images of the fundamental prespace

Andrei Khrennikov|ArXiv.org|Jun 10, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、物理的観測量が文脈に依存する確率的写像から生じることを特徴とする、量子力学のリアリスト的基礎を提唱する。その中心的貢献は、条件付き平均を保存するが、完全な確率分布を保存しない非局所的で文脈依存的なコルモゴロフ確率の量子表現を、preobservables から量子演算子への一意な写像 $W$ を通じて構築することである。この写像により、古典的極限ではなく平均保存が量子化の根拠となる。

ABSTRACT

In spite of all {\bf no-go} theorems (e.g., von Neumann, Kochen and Specker,..., Bell,...) we constructed a realist basis of quantum mechanics. In our model both classical and quantum spaces b are rough images of the fundamental {\bf prespace.} Quantum mechanics cannot be reduced to classical one. Both classical and quantum representations induce reductions of prespace information.

研究の動機と目的

• 量子力学のリアリスト的基礎を提供し、ヴァン・ネウマンやコッヘン＝スペンサー、ベルの定理といった伝統的な禁断の定理を回避すること。
• 古典的空間と量子的空間がより深い決定論的プレスペース $\Omega$ の縮小表現として生じる数学的枠組みを確立すること。
• アインシュタインのリアリズムとボール＝ハイゼンベルクの補完性原理の矛盾を解消し、古典的および量子的記述が単一のプレスペースの不完全で文脈依存的な像であることを示すこと。
• 対応原理を量子から古典への極限としてではなく、プレスペースから量子空間への写像として再定義し、量子化則を平均保存から導出すること。

提案手法

• 物理的現実の根本的構造を、基本的パラメータからなるプレスペース $\Omega$ としてモデル化し、物理的文脈を $\Omega$ の部分集合として表現する。
• preobservables $b, a: \Omega \to \u03a9$ を、$\Omega$ 上のリアリスト的で測定可能な関数として定義し、$b$ と $a$ を互いに不兼容な基準観測量のペアとして扱う。
• 各文脈 $C$ をヒルベルト空間 $H$ 内の量子状態 $\phi_C \in H$ に写像する、$\Omega$-文脈の文脈的確率的表現を構築する。
• preobservables から量子演算子への一意な写像 $W: \mathcal{O}(\Omega) \to \mathcal{O}(H)$ を定義し、関数 $f(b) + g(a)$ のみに制限する。この写像は条件付き平均を保存するが、完全な確率分布は保存しない。
• 条件付き平均 $E(d/C) = (\hat{d}\phi_C, \phi_C)$ の保存を量子化の核心的メカニズムとして用い、量子ハミルトニアンがprequantumハミルトニアンの文脈的平均と一致することを保証する。
• プレスペースの観測量 $q_\Omega, p_\Omega$ を古典的観測量 $q_{X_{\rm{cl}}}, p_{X_{\rm{cl}}}$ とは区別し、$\hat{q} \neq W(q_{X_{\rm{cl}}})$ および $\hat{p} \neq W(p_{X_{\rm{cl}}})$ であることを示し、古典的極限を量子化の根拠としない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァン・ネウマンやコッヘン＝スペンサーの禁断定理の結論を避けることができるリアリスト的量子力学の基礎を構築できるか？
• RQ2 古典的空間と量子的空間が、量子力学を古典力学に還元することなく、単一のより根本的なプレスペース $\Omega$ の縮小表現として両方とも出現する仕組みは何か？
• RQ3 文脈的確率と条件付き平均は、古典的確率モデルの整合的な量子表現を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 標準的な対応原理が量子化の根拠として失敗する理由は何か？prequantumからquantumへの観測量の移行を支える代替的メカニズムは何か？
• RQ5 prequantum系のハミルトニアンを、その文脈的平均が一致する量子ハミルトニアンに写像する方法は何か？このことは、量子化の基礎に何を示唆するか？

主な発見

• preobservables から量子演算子への写像 $W$ は、$D_W = \{f(b) + g(a)\}$ という真の部分集合にのみ定義され、$b$ と $a$ の任意関数は含まず、完全な確率分布も保存しない。
• 確率分布を保存しないにもかかわらず、写像 $W$ は条件付き平均を保存する：$E(d/C) = (\hat{d}\phi_C, \phi_C)$ であり、これがモデルの整合性の核心的メカニズムである。
• 量子ハミルトニアン $\hat{\mathcal{H}}$ は、prequantumハミルトニアン $\mathcal{H}(\omega) = \frac{a(\omega)^2}{2} + V(b(\omega))$ の像であり、その文脈的平均は正確に一致する：$E(\mathcal{H}/C) = (\hat{\mathcal{H}}\phi_C, \phi_C)$。
• 量子化則は古典的極限 $X_{\rm{cl}} \to X_{\rm{q}}$ から導出されるのではなく、平均保存条件 $\hat{q} \leftarrow W(q_\Omega)$, $\hat{p} \leftarrow W(p_\Omega)$ から導出され、$q_\Omega, p_\Omega$ は古典的観測量ではなく、$\Omega$ 上のpreobservableである。
• このモデルにより、$X_{\rm{cl}}$ は量子化の出発点ではないことが示される。$\Omega \to X_{\rm{cl}} \to X_{\rm{q}}$ の経路は存在せず、$\Omega \to X_{\rm{q}} \to X_{\rm{cl}}$ のみが存在する。これは、この枠組みにおいて量子理論が古典理論よりも根本的であることを意味する。
• このモデルは、確率的写像（決定論的写像ではない）による「実在的＝量子的」対応の再定義を通じて、文脈的確率と整合的であり、ベルの非局所性の結論に至る仮定を回避するリアリスト的解釈を提供する。