[论文解读] Classical simulation of DQC1$_2$ or DQC2$_1$ implies collapse of the polynomial hierarchy

Tomoyuki Morimae, Harumichi Nishimura+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

该论文证明，在合理的复杂性假设下，若经典计算机能够高效模拟DQC1$_2$或DQC2$_1$模型——即仅有一个纯态量子比特，其余所有量子比特均为完全混合态——则多项式层次将坍缩至第二层（具体而言，坍缩至AM）。该结果解决了长期存在的开放问题，表明此类量子模型在经典计算下是难以模拟的，从而强化了对IQP和玻色采样等次全功能量子模型的复杂性结论。

ABSTRACT

Deterministic quantum computation with one quantum bit (DQC1) is a restricted model of quantum computing where the input state is the completely mixed state except for a single clean qubit, and only a single output qubit is measured at the end of the computing. It is proved that the restriction of quantum computation to the DQC1 model does not change the complexity classes NQP and SBQP. As a main consequence, it follows that the DQC1 model cannot be efficiently simulated by classical computers unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level (more precisely, to AM), which answers the long-standing open problem posed by Knill and Laflamme under the very plausible complexity assumption. The argument developed in this paper also weakens the complexity assumption necessary for the existing impossibility results on classical simulation of various sub-universal quantum computing models, such as the IQP model and the Boson sampling.

研究动机与目标

• 在合理的复杂性假设下，解决DQC1模型是否可被经典计算机高效模拟的开放问题。
• 证明尽管DQC1模型结构受限，其仍能捕获NQP和SBQP的全部计算复杂性。
• 加强次全功能量子模型（如IQP和玻色采样）模拟困难性的复杂性理论基础。
• 展示可通过DQC1框架弱化经典模拟量子模型不可能性结果所需的前提假设。

提出的方法

• 利用已知的DQC1与NQP、SBQP在复杂性类上的等价性，论文表明任何对DQC1的高效经典模拟都将导致多项式层次坍缩。
• 利用DQC1能以高精度计算酉矩阵的迹这一事实，将该问题与AM复杂性类中的问题联系起来。
• 应用计算复杂性理论中的已知结果，论文证明：若DQC1可被经典模拟，则PH ⊆ AM，这意味着多项式层次将坍缩。
• 该论证被推广至DQC1$_2$和DQC2$_1$等变体模型，这些是DQC1模型在不同量子比特排列下的形式。
• 该证明依赖于DQC1模型即使在输入态和测量结构受限的情况下，其计算能力仍具有鲁棒性。
• 通过将模拟问题归约为AM中的一个预言问题，论文确立了经典模拟的严格复杂性理论边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合理的复杂性假设下，DQC1模型能否被经典计算机高效模拟？
• RQ2 DQC1模型是否能捕获NQP和SBQP等复杂性类的全部能力？
• RQ3 若DQC1可被经典模拟，对多项式层次将产生何种后果？
• RQ4 能否利用DQC1作为框架，弱化次全功能量子模型（如IQP和玻色采样）经典模拟不可能性结果所需的前提假设？
• RQ5 DQC1$_2$和DQC2$_1$等变体与量子计算的经典可模拟性之间有何关系？

主要发现

• 若能高效模拟DQC1$_2$或DQC2$_1$模型，则多项式层次将坍缩至第二层，具体为AM。
• 尽管输入输出结构受限，DQC1模型在计算能力上与NQP和SBQP复杂性类等价。
• 该结果解决了Knill与Laflamme提出的关于DQC1在合理复杂性假设下经典可模拟性的开放问题。
• 与以往结果相比，该论证为排除IQP和玻色采样等次全功能模型的经典模拟提供了更弱的复杂性假设。
• 该证明建立了有限量子资源的量子计算模型与基本复杂性理论层级之间的紧密联系。
• 研究结果加强了量子优势的理论基础，表明即使在受限的量子模型（如DQC1）中，其经典模拟也极不可能。