[論文レビュー] Classical Simulation of High Temperature Quantum Ising Models

Elizabeth Crosson, Samuel G. Slezak|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Quantum many-body systems参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、世界線ヒートバスタイムアップデートを用いた経路積分モンテカルロ法が、系のサイズに依存しない閾値より高い温度における量子イジング模型の分配関数に対して、完全多項式時間近似スキーム（FPRAS）を提供することを確立している。温度が4に加えて最大相互作用次数（結合度）の2倍を超える場合、nキュービットの系では混合時間がO(n log n)時間で達成され、ストゥーコスティック系における高温量子状態の効率的古典的シミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We consider generalized quantum Ising models, including those which could describe disordered materials or quantum annealers, and we prove that for all temperatures above a system-size independent threshold the path integral Monte Carlo method based on worldline heat-bath updates always mixes to stationarity in time $\mathcal{O}(n \log n)$ for an $n$ qubit system, and therefore provides a fully polynomial-time approximation scheme for the partition function. This result holds whenever the temperature is greater than four plus twice the maximum interaction degree (valence) over all qubits, measured in units of the local coupling strength. For example, this implies that the classical simulation of the thermal state of a superconducting device modeling a frustrated quantum Ising model with maximum valence of 6 and coupling strengths of 1 GHz is always possible at temperatures above 800 mK. Despite the quantum system being at high temperature, the classical spin system resulting from the quantum-to-classical mapping contains strong couplings which cause the single-site Glauber dynamics to mix slowly, therefore this result depends on the use of worldline updates (which are a form of cluster updates that can be implemented efficiently). This result places definite constraints on the temperatures required for a quantum advantage in analog quantum simulation with various NISQ devices based on equilibrium states of quantum Ising models.

研究の動機と目的

• 高温における量子イジング模型の古典的シミュレーションがどの条件下で効率的になるかを確立すること。
• 経路積分モンテカルロ法に世界線更新を用いた場合、混合が速やかに達成される温度閾値を特定し、分配関数の多項式時間近似を保証すること。
• この結果が、相互作用グラフの構造にかかわらず成り立つこと、すなわち温度が十分に高い場合に限る。
• NISQ時代のデバイスにおける古典的シミュレーションの限界を、量子イジングハミルトニアンの平衡状態に基づいて明確にすること。
• 単一サイトのグレーバー動的法則が、世界線に沿った強い結合性により失敗することを示し、クラスタ型の世界線更新が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 本研究では、量子イジング模型の熱的分配関数をシミュレートするために、世界線ヒートバスタイムアップデートを用いた経路積分モンテカルロ（PIMC）を採用する。
• 世界線更新は、個々のスピンを逐次更新する代わりに、一度に全世界線を再サンプリングすることで、臨界遅れを回避する。
• 混合の高速性を確立するための分析は、遷移核間の全変動距離の境界と結合論法に依存する。
• 主な境界は、1つの世界線でのみ異なる状態間の遷移確率比から導出され、相互作用項の指数関数が用いられる。
• 混合時間の境界は、最大結合強度Jと相互作用グラフの最大次数Δに依存するドリフト条件を用いて導出される。
• 迅速な混合の十分条件として、β ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1) が得られ、これにより固有値ギャップが0から離れていることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子イジング模型の古典的シミュレーションが、経路積分モンテカルロ法によってどの温度で効率的になるのか。
• RQ2 なぜ標準的な単一サイトGlauber動的法則が、高温領域にあっても高精度な量子イジング模型のシミュレーションに失敗するのか。
• RQ3 世界線ヒートバスタイムアップデートは、量子イジング模型の古典的写像における世界線に沿った強い結合性が引き起こす混合遅延を克服できるか。
• RQ4 系サイズに依存しない温度閾値を超えると、量子イジング模型の分配関数が多項式時間で近似可能になるか。
• RQ5 この手法は、多スピン非対角項を有するより一般的なストゥーコスティックハミルトニアンへ拡張可能か。

主な発見

• 世界線ヒートバスタイムアップデートを用いた経路積分モンテカルロ法は、nキュービット系において、系サイズに依存しない閾値を超える温度で、O(n log n)時間で定常状態に混合する。
• 逆温度βがβ ≤ (1/(4J)) log(2/Δ + 1) を満たす場合、迅速な混合が保証される。ここでJは最大結合強度、Δは最大相互作用次数である。
• この結果は、実数の結合を持つ任意の量子イジング模型に対して、完全多項式時間近似スキーム（FPRAS）が得られることを示唆する。ただし、温度が十分に高いことが条件である。
• 最大結合度6で結合強度1 GHzの超伝導デバイスでは、800 mKを超える温度で古典的シミュレーションが保証される。
• 量子から古典への写像によって得られる古典スピン系が強い結合性を示しても、この手法は依然として効率的である。
• 鍵となる洞察は、世界線更新が全世界線を一括で操作することで、局所的更新スキームが直面する臨界遅れを回避できることであり、強い世界線結合性にもかかわらず迅速な混合を実現できることである。