[論文レビュー] Merlin-Arthur Games and Stoquastic Complexity

Sergey Bravyi, Arvid J. Bessen+1 more|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、計算基底における非負の行列要素を持つ射影に制限することで、量子 $k$-SAT をストーカスティック $k$-SAT に一般化し、自然な MA-完全問題を提示する。ランダムウォークに基づく多項式時間確率的アルゴリズムを用いて、ストーカスティック 6-SAT が MA-完全であることを証明し、StoqMA と呼ばれる複雑度クラスを導入。$ mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$ を示し、局所的ストーカスティックハミルトニアンの平均的最小固有値問題が AM に属することも確立する。

ABSTRACT

MA is a class of decision problems for which `yes'-instances have a proof that can be efficiently checked by a classical randomized algorithm. We prove that MA has a natural complete problem which we call the stoquastic k-SAT problem. This is a matrix-valued analogue of the satisfiability problem in which clauses are k-qubit projectors with non-negative matrix elements, while a satisfying assignment is a vector that belongs to the space spanned by these projectors. Stoquastic k-SAT is the first non-trivial example of a MA-complete problem. We also study the minimum eigenvalue problem for local stoquastic Hamiltonians that was introduced in quant-ph/0606140, stoquastic LH-MIN. A new complexity class StoqMA is introduced so that stoquastic LH-MIN is StoqMA-complete. Lastly, we consider the average LH-MIN problem for local stoquastic Hamiltonians that depend on a random or `quenched disorder' parameter, stoquastic AV-LH-MIN. We prove that stoquastic AV-LH-MIN is contained in the complexity class \AM, the class of decision problems for which yes-instances have a randomized interactive proof with two-way communication between prover and verifier.

研究の動機と目的

• 複雑度クラス MA に対して自然で非自明な完全問題を同定すること。MA は古典的証明による確率的多項式時間検証を捉える。
• 計算基底における非負の行列要素を持つ局所的ハミルトニアン（ストーカスティックハミルトニアン）の複雑度を、新たなクラス StoqMA を導入することで分析すること。
• 量子複雑度クラス（QMA, SBP）と古典的インタラクティブ証明系（AM）との間の関係を、ストーカスティックハミルトニアンの平均的最小固有値問題を通じて確立すること。
• ストーカスティック $k$-SAT が、計算基底状態との重なりチェックに基づく効率的確率的検証アルゴリズムを有することを示し、MA-完全性を実現すること。

提案手法

• 計算基底における非負の行列要素を持つ $k$-キュービット射影子としての節を用いた、$k$-SAT の行列値一般化としてストーカスティック $k$-SAT を定義する。
• 状態空間上のランダムウォークを用いて、与えられた計算基底状態 $|x\rangle$ が満たす割り当てと大きな重なりを持つかどうかをチェックする多項式時間確率的アルゴリズムを構築する。
• 既知の MA-完全問題（例：6-CNF論理式）をストーカスティックハミルトニアンに符号化し、摂動的ガジェット構成を用いてストーカスティック 6-SAT の完全性と健全性を証明する。
• 局所的ストーカスティックハミルトニアンの最小固有値問題の完全問題としてのクラス StoqMA を導入し、$\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$ を示す。
• 摂動的ガジェットを用いて、量子回路の受容確率を非負行列要素とスペクトルギャップの制御を保ちながらストーカスティックハミルトニアンでシミュレートする。
• 平均的バージョンの最小固有値問題（ストーカスティック AV-LH-MIN）を分析し、メルリンとアーチャーの双方向インタラクティブ証明系を構築することで、AM に属することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MA の複雑度クラスに対して、人工的または回路に基づく形式以外の自然で非自明な完全問題は存在するか？
• RQ2 非負の行列要素を持つストーカスティックハミルトニアンの複雑度は、AM や StoqMA などの古典的複雑度クラスで特徴づけられるか？
• RQ3 ストーカスティック系に制限した場合、古典的 MA クラスと量子複雑度クラス（QMA や SBP）との関係は何か？
• RQ4 局所的ストーカスティックハミルトニアンの最小固有値問題は、インタラクティブ証明系を用いて解けるか？ もしそうなら、その問題はどの複雑度クラスに属するか？
• RQ5 ストーカスティック最小固有値問題の平均的バージョンは、定数ラウンドの確率的インタラクティブ証明を有するか？ その複雑度は何か？

主な発見

• ストーカスティック 6-SAT が MA-完全であることが証明され、MA-完全問題の自然な最初の例として知られる。
• 計算基底状態上のランダムウォークに基づく多項式時間確率的アルゴリズムにより、ストーカスティック $k$-SAT の完全かつ健全な検証手順が提供され、MA に属することを確立する。
• 局所的ストーカスティックハミルトニアンの最小固有値問題の完全問題としてのクラス StoqMA が導入され、$\mathrm{MA} \subseteq \mathrm{StoqMA} \subseteq \mathrm{SBP} \cap \mathrm{QMA}$ が示された。
• 局所的ストーカスティックハミルトニアンの平均的最小固有値問題（ストーカスティック AV-LH-MIN）は、複雑度クラス AM に含まれることを示し、量子ハミルトニアン問題と古典的インタラクティブ証明系との間の関係を示す。
• 量子回路の受容確率を非負行列要素を持つストーカスティックハミルトニアンでシミュレートする摂動的ガジェットを構築し、スペクトル性質を保ちながら完全性証明を可能にする。
• MA-完全性の証明は、6-CNF論理式をストーカスティックハミルトニアンに符号化する手法に依存しており、満たす割り当てが存在するための必要十分条件は最小固有値がゼロであることであり、健全性は $1 - n^{-O(1)}$ で抑えられる。