[論文レビュー] Classification of foliations by curves of low degree on the three-dimensional projective space

Maurício Corrêa, Marcos Jardim+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、孤立特異点をもたない ℙ³ 上の曲線のfoliationを、次数 ≤3 で分類し、次数1および2のfoliationが平面の線型系またはlegendrianであり、codimension 1分布の完全交差として生じることを示している。次数3の場合、余接層は線分束の直和またはインスタントン束である。本稿は、legendrian foliationおよびねじれた零相関束をもつ余接層を持つfoliationを用いて高次度の場合を特徴づけ、特異点スキームとモジュライ空間を記述している。

ABSTRACT

We study foliations by curves on the three-dimensional projective space with no isolated singularities, which is equivalent to assuming that the conormal sheaf is locally free. We provide a classification of such foliations by curves up to degree 3, also describing the possible singular schemes. In particular, we prove that foliations by curves of degree 1 or 2 are either contained on a pencil of planes or legendrian, and are given by the complete intersection of two codimension one distributions. We prove that the conormal sheaf of a foliation by curves of degree 3 with reduced singular scheme either splits as a sum of line bundles or is an instanton bundle. For degree larger than 3, we focus on two classes of foliations by curves, namely legendrian foliations and those whose conormal sheaf is a twisted null correlation bundle. We give characterizations of such foliations, describe their singular schemes and their moduli spaces.

研究の動機と目的

• ℙ³ 上の曲線によるfoliationを、次数 ≤3 かつ孤立特異点をもたないものとして分類し、余接層が局所自由であることを保証する。
• このようなfoliationの特異点スキームの構造を特定する。
• 余接層が線分束の直和かインスタントン束かによって分類可能な次数3のfoliationを分析すること。
• legendrian foliationおよびねじれた零相関束をもつ余接層を持つfoliationを対象として、分類を高次度に拡張すること。
• これらのfoliationのモジュライ空間および幾何的性質を記述すること。

提案手法

• 孤立特異点がないという仮定により、余接層が局所自由であることを保証し、代数的および層論的解析を可能にする。
• 特に次数3のfoliationに対して、ベクトル束理論の技術を用いて余接層の構造を分類する。
• 完全交差構成を用いて、次数1および2のfoliationがcodimension 1分布の完全交差として生じることを示す。
• 理想層の計算と基底付属集合の幾何的制約を用いて、特異点スキームを分析する。
• インスタントン束および零相関束の理論を用いて、高次度のfoliationを特徴づける。
• 変形理論的およびコホモロジー的技法を用いて、モジュライ空間を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ³ 上の曲線によるfoliationで、孤立特異点をもたないものについて、次数1, 2, 3の場合の余接層の可能な構造は何か？
• RQ2 このようなfoliationの特異点スキームはどのように振る舞い、どのような幾何的制約を満たすか？
• RQ3 余接層が分解するかインスタントン束かによって、次数3のfoliationを分類可能か？
• RQ4 高次度のlegendrian foliationは、どのような特徴づけが可能か？
• RQ5 このようなfoliationのモジュライ空間は何か？また、余接層の構造にどのように依存するか？

主な発見

• ℙ³ 上の曲線によるfoliationで、孤立特異点をもたない次数1または2のものについては、平面の線型系に含まれるか、legendrianであり、codimension 1分布の完全交差として実現される。
• 特異点スキームが非特異である次数3のfoliationでは、余接層は線分束の直和かインスタントン束のいずれかである。
• 特異点スキームが非特異である次数3のfoliationの余接層は、任意にはなりえない。特異点集合の幾何的性質によって制約を受ける。
• 高次度のlegendrian foliationは、余接層がねじれた零相関束であることで特徴づけられる。
• これらのfoliationのモジュライ空間は、コホモロジー的および変形論的技法により記述され、基礎となるバンドル構造を反映している。
• これらのfoliationの特異点スキームは、余接層が分解している次数3の場合、0次元かつ非特異であることが示され、インスタントンの場合には非特異でない可能性がある。