[論文レビュー] Classifying locally compact semitopological polycyclic monoids

Serhii Bardyla|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、位相的同型に関して、ハウスドルフかつ局所コンパクトな半位相的多項的モノイドを分類し、任意の such モノイドが離散的またはコンパクトであることを証明する。主な結果は、非離散的局所コンパクトな半位相的多項的モノイドは、$ M \setminus \{0\} $ の離散空間の一点コンパクト化の位相を持つ必要があることである。与えられた制約下では、これ以外の位相はあり得ない。

ABSTRACT

We present a complete classification of Hausdorff locally compact polycyclic monoids up to a topological isomorphism. A {\em polycyclic monoid} is an inverse monoid with zero, generated by a subset $Λ$ such that $xx^{-1}=1$ for any $x\inΛ$ and $xy^{-1}=0$ for any distinct $x,y\inΛ$. We prove that any non-discrete Hausdorff locally compact topology with continuous shifts on a polycyclic monoid $M$ coincides with the topology of one-point compactification of the discrete space $M\setminus\{0\}$.

研究の動機と目的

• ハウスドルフかつ局所コンパクトな半位相的多項的モノイドを位相的同型に関してすべて分類すること。
• 多項的モノイドの代数的構造と局所コンパクト性を満たすような、その上に可能な位相を特定すること。
• 半位相的設定における離散的とコンパクトな位相の二分法を解明すること。
• 非離散位相として唯一可能であるのは、$ M \setminus \{0\} $ の一点コンパクト化位相であり、これは jointly 連続でないことを示すこと。
• より弱い半位相的条件を考慮することで、従来の位相的多項的モノイドに関する結果を拡張すること。

提案手法

• 代数的同型を用いて、任意の多項的モノイドを標準的 $ \mathcal{P}_\lambda $（$ \lambda $-多項的モノイド）に同定する。
• 半位相的半群の概念を適用する：乗法はそれぞれの変数について連続であり、位相はハウスドルフ的かつ局所コンパクトである。
• $ \mathcal{R} $-類の構造と、零元の近傍における性質を、それぞれの連続性を用いて分析する。
• 局所コンパクト性と $ \mathcal{R} $-類内の無限集合に基づく背理法を用いて、非コンパクトかつ非離散な位相を除外する。
• $ \mathcal{P}_\lambda \setminus \{0\} $ 上の一点コンパクト化位相の性質を活用し、それが半位相的条件を満たすことを示す。
• 近傍構造、逆像、および有限集合に関する補題を適用し、非離散位相が一点コンパクト化位相に他ならないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項的モノイドに、乗法がそれぞれの変数について連続となるような、ハウスドルフ的かつ局所コンパクトな位相は、どのようなものがあるか？
• RQ2 非離散的局所コンパクトな半位相的多項的モノイドは存在しうるか？ もし存在するならば、その位相はどのようなものでなければならないか？
• RQ3 $ \mathcal{P}_\lambda \setminus \{0\} $ 上の一点コンパクト化位相は、なぜ半位相的条件を満たすが、 jointly 連続でないのか？
• RQ4 $ \mathcal{R} $-類とそれらが零元の近傍とどのように作用するかが、可能な位相にどのような制約を課えるか？
• RQ5 局所コンパクトな半位相的多項的モノイドには、位相的二分法が存在するか？ もし存在するならば、二つの異なる状況は何か？

主な発見

• 非離散的ハウスドルフ的かつ局所コンパクトな半位相的多項的モノイドは、必ず $ M \setminus \{0\} $ の離散空間の一点コンパクト化の位相を持つ。ここで $ M $ はモノイドを表す。
• $ \mathcal{P}_\lambda \setminus \{0\} $ 上の一点コンパクト化位相は、有効な半位相的モノイド位相ではあるが、位相的半群位相ではない。
• 多項的モノイドに、ハウスドルフ的かつ局所コンパクトな半位相的位相が存在する場合、離散位相と一点コンパクト化位相のいずれかに限られる。
• 非離散の場合、零元の任意の近傍の補集合は有限でなければならない。これは、位相が一点コンパクト化に他ならないことを強制する。
• 証明は背理法に依拠している：零元の近傍の補集合が無限であると仮定すると、特定の要素による乗法に関して閉じた無限集合が得られ、局所コンパクト性に反する。
• この結果は、乗法が jointly 連続であるような局所コンパクトな位相的多項的モノイドは、すべて離散的でなければならないことを示しており、以前の研究で知られている結果を再確認する。