[论文解读] Cohomological Hall algebras for Higgs torsion sheaves, moduli of triples and Hilbert schemes on surfaces
本文在射影曲线上的Higgs挠层堆的Borel-Moore同调上构造了一个结合积，证明其具有叠乘表示形式，并在通常的同调设定下保持忠实。此外，本文引入了稳定三元组的模空间，其上同调携带该代数的作用，从而在曲线余切丛上的Hilbert概形上诱导出自然的作用。
For any free oriented Borel-Moore homology theory $A$, we construct an associative product on the $A$-theory of the stack of Higgs torsion sheaves over a projective curve $C$. We show that the resulting algebra $A\mathbf{Ha}_C^0$ admits a natural shuffle presentation, and prove it is faithful when $A$ is replaced with the usual Borel-Moore homology groups. We also introduce moduli spaces of stable triples, heavily inspired by Nakajima quiver varieties, whose $A$-theory admits an $A\mathbf{Ha}_C^0$-action. In particular, we obtain an action of $A\mathbf{Ha}_C^0$ on the cohomology of Hilbert schemes of points on $T^*C$.
研究动机与目标
- 为射影曲线上Higgs挠层堆的Borel-Moore同调定义一个新的结合积。
- 证明该代数具有叠乘表示形式，推广表示论中已知的结构。
- 引入受Nakajima箭头图变体启发的稳定三元组模空间，为该代数提供几何实现。
- 在Hilbert概形上同调上建立上同调霍尔代数的作用。
- 将上同调霍尔代数的框架扩展至Higgs层及其相关模空间，丰富了几何表示论。
提出的方法
- 为任意自由定向Borel-Moore同调理论 $A$，在Higgs挠层堆的 $A$-理论上构造一个结合积。
- 证明所得代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 具有叠乘表示形式，推广了量子群中出现的组合结构。
- 将稳定三元组的模空间作为参数化特定层三元组并满足稳定性条件的几何对象引入。
- 在稳定三元组的模空间的 $A$-理论上定义 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 的作用。
- 证明当 $A$ 为通常的Borel-Moore同调时，代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 是忠实的，确保表示的单射性。
- 通过稳定三元组的模空间，建立 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 在 $T^*C$ 上点的Hilbert概形上同调上的自然作用。
实验结果
研究问题
- RQ1能否为射影曲线上Higgs挠层堆构造一个上同调霍尔代数？其结构如何？
- RQ2该代数是否具有叠乘表示形式？其与表示论中已知代数结构的关系为何？
- RQ3能否定义稳定三元组的模空间，使得其上同调自然携带该代数的作用？
- RQ4当通过Borel-Moore同调实现时，上同调霍尔代数是否忠实？
- RQ5该框架是否在曲线余切丛上Hilbert概形的上同调上诱导出几何作用？
主要发现
- 在Higgs挠层堆的 $A$-理论上构造了一个结合积，形成代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$。
- 代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 具有自然的叠乘表示形式，推广了量子群中的组合结构。
- 当 $A$ 为通常的Borel-Moore同调时，代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 是忠实的，确保表示的非退化性。
- 引入了稳定三元组的模空间，其 $A$-理论自然携带 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 的作用。
- 该作用在 $T^*C$ 上点的Hilbert概形上同调上诱导出 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 的几何作用。
- 该构造在Higgs层与曲面几何的背景下，为上同调霍尔代数提供了新的几何实现。
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