[論文レビュー] Combinatorial bases of Feigin-Stoyanovsky's type subspaces of level 1 standard modules for $ ilde{\mathfrak sl}(\ell+1,\C)$

Goran Trupčević|ArXiv.org|Jul 22, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、差分条件および初期条件を用いて、$\tilde{\mathfrak{sl}}(\ell+1,\mathbb{C})$ のレベル1標準モジュールのフェイジン＝ストイアノフスキー型部分空間 $W(\Lambda)$ の組み合わせ的単項式基底を構成する。相互作用作用素の係数を用いて線形独立性を証明し、周期的テイル単項式 $x(\mu)$ が $x(\mu)v_\Lambda = C e(\omega)^{\ell+1} v_\Lambda$ を満たすことを示すことで、全モジュール $L(\Lambda)$ の基底を帰納的に構成可能である。

ABSTRACT

Let $ ilde{\mathfrak g}$ be an affine Lie algebra of type $A_\ell^{(1)}$. Suppose we're given a $\mathbb Z$-gradation of the corresponding simple finite-dimensional Lie algebra ${\mathfrak g}={\mathfrak g}_{-1}\oplus{\mathfrak g}_0 \oplus {\mathfrak g}_1$; then we also have the induced $\mathbb Z$-gradation of the affine Lie algebra $$ ilde{\mathfrak g}= ilde{\mathfrak g}_{-1} \oplus ilde{\mathfrak g}_0 \oplus ilde{\mathfrak g}_1.$$ Let $L(Λ)$ be a standard module of level 1. Feigin-Stoyanovsky's type subspace $W(Λ)$ is the $ ilde{\mathfrak g}_1$-submodule of $L(Λ)$ generated by the highest-weight vector $v_Λ$, $$W(Λ)=U( ilde{\mathfrak g}_1)\cdot v_Λ\subset L(Λ).$$ We find a combinatorial basis of $W(Λ)$ given in terms of difference and initial conditions. Linear independence of the generating set is proved inductively by using coefficients of intertwining operators. A basis of $L(Λ)$ is obtained as an ``inductive limit'' of the basis of $W(Λ)$.

研究の動機と目的

• Feigin-Stoyanovskyのタイプの部分空間 $W(\Lambda)$ のレベル1標準モジュール $\tilde{\mathfrak{sl}}(\ell+1,\mathbb{C})$ に対する単項式基底を構成すること。
• 単項式における $\tilde{\mathfrak{g}}_1$ 生成子に関する組み合わせ的差分条件および初期条件を用いて、基底を特徴づけること。
• 相互作用作用素の係数を用いて、生成集合の線形独立性を証明すること。
• $W(\Lambda)$ の基底が、帰納的極限構成を用いて全標準モジュール $L(\Lambda)$ の基底に拡張できることを示すこと。

提案手法

• 基底は、特定の差分条件および初期条件を満たす $x(\pi)$ を用いた $x(\pi)v_\Lambda$ の線型結合として構成される。ここで $x(\pi)$ は $\gamma \in \Gamma$, $j \in \mathbb{N}$ に対する $x_\gamma(-j)$ の積である。
• 差分条件は、連続する因子 $x_{1s}(-j)x_{1s'}(-j')$ に対して、$j \geq j'+2$ または $j = j'+1$ かつ $s < s'$ を要求し、非隣接または減少インデックスの順序を保証する。
• 初期条件は、$W(\Lambda_i)$ を生成する単項式において $x_{1i}(-1), \dots, x_{1\ell}(-1)$ を使用することを禁止し、最低次数の項を制限する。
• 周期的テイル単項式 $x(\mu)$ が構成され、$x(\mu)v_\Lambda = C e(\omega)^{\ell+1} v_\Lambda$ ($C \in \mathbb{C}^\times$) を満たすようにする。ここで $f = \ell+1$ が変換の周期である。
• モジュール間の相互作用作用素の係数を分析することで、基底の線形独立性を帰納的に確立する。
• 全モジュール $L(\Lambda)$ は、$x(\mu)$ の周期性および変換性を用いて、$W(\Lambda)$ の基底の帰納的極限として得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feigin-Stoyanovskyのタイプの部分空間 $W(\Lambda)$ に対する、レベル1の $\tilde{\mathfrak{sl}}(\ell+1,\mathbb{C})$ モジュールにおける単項式基底を特徴づける組み合わせ的条件は何か？
• RQ2 表現論的道具を用いて、単項式基底の線形独立性をどのように厳密に確立できるか？
• RQ3 周期的テイル単項式 $x(\mu)$ は、$W(\Lambda)$ の基底と全モジュール $L(\Lambda)$ の基底を結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 基底の構造は、基本的ウェイト $\Lambda_i$ およびgradationパラメータ $m$ の選択にどのように依存するか？
• RQ5 $W(\Lambda)$ の基底は、帰納的極限構成を用いて $L(\Lambda)$ の基底に拡張可能か？

主な発見

• 差分条件および初期条件を満たす $\tilde{\mathfrak{g}}_1$ 生成子に関する単項式を用いて、$W(\Lambda)$ の単項式基底が構成され、基底元は適切な単項式 $x(\pi)$ に対する $x(\pi)v_\Lambda$ である。
• 線形独立性は、モジュール間の相互作用作用素の係数が非ゼロであることを示すことで証明され、線形従属が生じないことが保証される。
• 周期的テイル単項式 $x(\mu)$ は、ある $C \in \mathbb{C}^\times$ に対して $x(\mu)v_\Lambda = C e(\omega)^{\ell+1} v_\Lambda$ を満たし、$f = \ell+1$ が変換の周期である。
• $x(\pi)$ が $W(\Lambda_i)$ に対して差分および初期条件を満たすための必要十分条件は、$x(\pi^{-\ell-1})x(\mu)$ も同様に条件を満たすことである。これにより周期的同値性が確立される。
• $W(\Lambda)$ の基底は、$x(\mu)$ の周期性を用いた帰納的極限構成により、全標準モジュール $L(\Lambda)$ の基底に拡張される。
• $m=1$ の特別な場合、条件は $(1,\ell+1)$-適切配置のものに簡略化され、[P1] および [FJLMM] の既知の結果が回復される。