[論文レビュー] Combinatorial Realization of the Hopf Algebra of Sashes

Shirley Law|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

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ひとこと要約

この論文は、黒い1×1の正方形、白い1×1の正方形、白い1×2の長方形からなる1×nの長方形のタイル張り（サッシュ）を用いて、置換のマルヴェヌ＝ルーテナールHopf代数の部分代数であるHopf代数の内的な組合せ的記述を提供する。著者らは、サッシュに基づく明示的な積、余積、およびそれらの双対の公式を確立し、自然な組合せ的双対写像を通じてサッシュのHopf代数がペル置換のHopf代数と同型であることを証明する。

ABSTRACT

A general lattice theoretic construction of Reading constructs Hopf subalgebras of the Malvenuto-Reutenauer Hopf algebra (MR) of permutations. The products and coproducts of these Hopf subalgebras are defined extrinsically in terms of the embedding in MR. The goal of this paper is to find an intrinsic combinatorial description of a particular one of these Hopf subalgebras. This Hopf algebra has a natural basis given by permutations that we call Pell permutations. The Pell permutations are in bijection with combinatorial objects that we call sashes, that is, tilings of a 1 by n rectangle with three types of tiles: black 1 by 1 squares, white 1 by 1 squares, and white 1 by 2 rectangles. The bijection induces a Hopf algebra structure on sashes. We describe the product and coproduct in terms of sashes, and the natural partial order on sashes. We also describe the dual coproduct and dual product of the dual Hopf algebra of sashes.

研究の動機と目的

• マルヴェヌ＝ルーテナールHopf代数の部分代数としてのHopf代数の内的な組合せ的記述を提供すること。これは、従来は埋め込みによる外的な定義しかなかった。
• ペル置換と呼ばれる置換を用いて、このHopf代数の自然な基底を確立すること。ペル置換はサッシュと自然な組合せ的双対写像で一対一対応する。
• 置換に依存しない、タイル張りの組合せ論的構造に基づいて、サッシュのHopf代数における積と余積の操作を明示的に定義すること。
• 双対Hopf代数のサッシュの双対積と双対余積を、サッシュに基づく操作を用いて記述すること。
• サッシュのHopf代数が、組合せ的双対写像を通じてペル置換のHopf代数と同型であることを証明すること。

提案手法

• 論文は、黒い1×1タイル、白い1×1タイル、白い1×2の長方形からなる1×nの長方形のタイル張り（サッシュ）に基づくHopf代数構造を構成する。
• 2つのサッシュの積は、相対的な順序を保ちつつタイルを重ね合わせるすべての方法の和として定義され、置換モデルにおけるシフトシャッフルに相当する。
• 余積は、サッシュを各可能な位置で分割し、左部分と右部分を標準化して新たなサッシュにすることによって定義される。
• 双対余積と双対積は、置換をその逆に写す写像Invの逆写像を用いて導出され、位置の部分集合に関する和として表現される。
• 著者らは、タイルの位置とそれらの弱順序における相互作用についてのケース解析を用いて、積と余積の像がサッシュ基底に含まれることを証明する。
• ペル置換とサッシュの間の双対写像を確立し、ペル置換におけるHopf代数の演算がサッシュに定義された演算と正確に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルヴェヌ＝ルーテナール代数のペル置換によって生成されるHopf部分代数は、周囲の置換代数に依存しない内的な組合せ的記述を持つことができるか？
• RQ2 このHopf代数の積と余積の演算は、サッシュのタイル張りの観点から明示的に実現可能か？
• RQ3 サッシュの双対Hopf代数の構造は何か？ そして、その双対積と双対余積は、元の演算とどのように関係するか？
• RQ4 ペル置換の双対写像の下で、弱順序に対応する自然な部分順序がサッシュに存在するか？
• RQ5 組合せ的構成を用いて、サッシュのHopf代数がペル置換のHopf代数と同型であることを示せるか？

主な発見

• サッシュのHopf代数は、サッシュとペル置換との間の自然な組合せ的双対写像によって誘導される同型写像を通じて、ペル置換のHopf代数と同型である。
• 2つのサッシュの積は、相対的な順序を保ちつつタイルを重ね合わせるすべての方法の和として与えられ、置換モデルにおけるシフトシャッフルに相当する。
• サッシュの余積は、各可能な位置で分割し、左部分と右部分を標準化して新たなサッシュにすることによって定義され、空のサッシュが単位元である。
• 双対余積は、位置の部分集合Tに関する和として表現され、左部分はサッシュをTに制限したもの、右部分はT^Cに制限したものの標準化である。
• 双対積は、サイズpの部分集合Tに関する和として与えられ、入力のサッシュをTに制限したものの連結とT^Cに制限したものの連結を順に並べ、その後標準化を行う。
• 論文は、積と余積の像がすべてサッシュ基底に含まれることを証明し、サッシュ上でのHopf代数構造が適切に定義されていることを確認した。