[論文レビュー] Combinatorics of patience sorting piles

Alexander Burstein, Isaiah Lankham|ArXiv.org|Jun 17, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、RSK対応に類似した、順列と集合分割のペアの間の全単射を導入することにより、パティエンス・ソーティングの組合せ論を展開する。一般化されたパターン 3-1-42 を避ける順列は、ちょうどそのパイル構成が集合分割に対応するものとして特徴付けられ、その数が第 n 階ベル数に一致することを示し、アルゴリズムに対してクラシカルなクラウス関係に類似した同値関係を確立する。

ABSTRACT

Despite having been introduced in 1962 by C.L. Mallows, the combinatorial algorithm Patience Sorting is only now beginning to receive significant attention due to such recent deep results as the Baik-Deift-Johansson Theorem that connect it to fields including Probabilistic Combinatorics and Random Matrix Theory. The aim of this work is to develop some of the more basic combinatorics of the Patience Sorting Algorithm. In particular, we exploit the similarities between Patience Sorting and the Schensted Insertion Algorithm in order to do things that include defining an analog of the Knuth relations and extending Patience Sorting to a bijection between permutations and certain pairs of set partitions. As an application of these constructions we characterize and enumerate the set S_n(3-\bar{1}-42) of permutations that avoid the generalized permutation pattern 2-31 unless it is part of the generalized pattern 3-1-42.

研究の動機と目的

• パティエンス・ソーティングのアルゴリズムの基礎的組合せ論を発展させること。近年、ランダム行列理論や確率的組合せ論との関係から注目を集めている。
• RSK対応における古典的クラウス関係に類似した、パティエンス・ソーティング用のクラウスに類似た同値関係を定義すること。
• パティエンス・ソーティングを、順列と集合分割のペアの間の全単射へと拡張し、RSK対応を模倣すること。
• 一般化されたパターン 3-1-42 を避ける順列の集合を特徴付け、特に 2-31 を含まないが 3-1-42 の一部である場合を除く場合に注目して数えること。
• このような順列の数が第 n 階ベル数に一致することを示し、パティエンス・ソーティングを古典的組合せ論的対象と結びつけること。

提案手法

• パティエンス・ソーティング手順における同一のパイル構成に基づき、順列上の同値関係 ≡PS を定義する。これは RSK におけるクラウス関係に類似している。
• 左から右への最小値と基本的部分列を用いて、各パイルの構造を定義することで、パイル構成を集合分割として特徴付ける。
• 各パイル構成から順列への逆パティエンス語（RPW）写像を構成し、すべての集合分割がパイル構成として現れることを示す。
• 連続する右から左への最小値の間の減少列の構造とシャドウ図を用いて、3-1-42 の一部でない 2-31 パターンの回避を分析する。
• Sn(3-1-42) に属する順列と [n] の集合分割の間の全単射を確立し、この集合のサイズがベル数 Bn に一致することを示す。
• 23-1 の回避クラス Sn(23-1) と 3-1-42 の回避クラス Sn(3-1-42) が同一であることを証明し、異なるパターン定義にもかかわらずウィルフ同値かつ構造的に同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パティエンス・ソーティングを、RSK 対応に類似した順列と集合分割のペアの間の完全な全単射へとどのように拡張できるか？
• RQ2 特に 2-31 パターンとの関係において、一般化されたパターン 3-1-42 を避ける順列の組合せ論的構造は何か？
• RQ3 パティエンス・ソーティングに対してクラウスに類似した同値関係を定義できるか？また、それは順列のパイル構成とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ 3-1-42 の回避が正確にベル数をもたらすのか？これはこのような順列の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 回避クラス Sn(3-1-42) は部分順列の取り出しに関して閉じているか？これは古典的パターン回避クラスとどのように比較できるか？

主な発見

• 一般化されたパターン 3-1-42 を避ける順列の集合は、[n] の集合分割の集合と全単射であり、そのサイズは第 n 階ベル数 Bn に一致する。
• すべての集合分割がパティエンス・ソーティングの下でパイル構成として現れ、すべてのパイル構成は Sn(3-1-42) に属する一意な順列に対応する。
• Sn(3-1-42) に属する順列の逆パティエンス語は、そのパイル構成が集合分割と一致する順列である。これにより直接的な対応関係が確立される。
• 回避クラス Sn(3-1-42) は Sn(23-1) と同一であり、一般化されたパターン 3-1-42 と一般化されたパターン 23-1 がウィルフ同値であり、同じ回避クラスを持つことを示している。
• パイル構成によって誘導される順列上の同値関係 ≡PS は、古典的パターンを用いて簡単に記述できない。これは、パティエンス・ソーティングの構造を捉えるために一般化されたパターンがいかに有用であるかを示している。
• 本論文は、クラス Sn(3-1-42) が部分順列の取り出しに関して閉じていないことを示しており、これは古典的パターン回避クラスとは異なり、単に古典的パターンでは記述できないことを説明している。