[論文レビュー] Comical sets: a cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Verityのcomplicial setと類似する、接続付きマーク付き立方体集合を用いた$(\infty,n)$-圏の新しいモデルを導入する。これは結合的かつ双閉性を持つグレイテンソル積を備えたモノイダルモデル構造を確立し、前complicial集合への三角形化関手が強いモノイダル左クィルレン関手であることを証明する。

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

研究の動機と目的

• $(\infty,n)$-圏の新しい立方体的モデルを構築し、$n=\infty$の場合にまで拡張可能であるようにすること。
• $(\infty,n)$-圏のホモトピー的性質を捉えるように、マーク付き立方体集合に接続を加えたものに対するモデル構造を定義すること。
• ラクスおよび擬似グレイテンソル積を用いて、結合的かつ双閉性を持つモノイダル構造をモデルに導入すること。
• マーク付き立方体集合に接続を加えたものから前complicial集合への三角形化関手がモノイダル構造を保存し、左クィルレン関手であることを確立すること。

提案手法

• complicial setの枠組みを拡張し、$(\infty,n)$-圏をモデル化するため、マーク付き立方体集合に接続を加える。
• マーク付き立方体集合に接続を加えた圏において、ラクスおよび擬似グレイテンソル積を導入する。
• 両方のグレイテンソル積が結合的かつ双閉性を満たすことを証明し、整合的なモノイダル構造を保証する。
• マーク付き立方体集合に接続を加えたものから前complicial集合への三角形化関手を定義する。
• マーク付き立方体集合に接続を加えたもの上のモデル構造に関して、三角形化関手が左クィルレン関手であることを示す。
• 三角形化関手が、ラクスおよび擬似グレイテンソル積の両方に関して強いモノイダル関手であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付き立方体集合に接続を加えたものによる$(\infty,n)$-圏の立方体的モデルを、整合的なモノイダル構造を備えて構築できるか。
• RQ2 このモデル構造におけるラクスおよび擬似グレイテンソル積が、結合的かつ双閉性を満たすか。
• RQ3 マーク付き立方体集合に接続を加えたものから前complicial集合への三角形化関手が左クィルレン関手か。
• RQ4 三角形化関手が、ラクスおよび擬似グレイテンソル積の両方に関して強いモノイダル関手か。
• RQ5 この立方体的モデルは、Verityのcomplicial setのような既存のモデルとどのように関係するか。

主な発見

• マーク付き立方体集合に接続を加えたものに対するモデル構造は、ラクスおよび擬似グレイテンソル積の両方に関してモノイダルである。
• 両方のグレイテンソル積は結合的かつ双閉性を満たし、高次圏的演算と整合性を持つ。
• 前complicial集合への三角形化関手は左クィルレン関手であり、新モデルが既存のcomplicial枠組みと結びついている。
• 三角形化関手は、ラクスおよび擬似グレイテンソル積の両方に関して強いモノイダル関手であり、モノイダル構造を保存する。
• このモデルは、complicial setの代替として、$(\infty,n)$-圏に整合的なモノイダル構造を備えた立方体的モデルを提供する。
• この構成は自然に$n=\infty$の場合にまで拡張され、高次圏の統一的枠組みを提供する。