[論文レビュー] Comparative computational results for some vertex and facet enumeration codes

David Avis, Charles Jordan|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、単純なものから極めて退化した問題までを含む多様なテスト問題を用いて、凸多面体の並列処理と逐次処理の頂点および面の列挙コードを比較している。並列化、特にMPIベースのmplrsコードにより、最も困難な問題（cp6）ではcddr+と比較して最大600倍の高速化が達成され、中規模のハードウェアクラスタ上でも大規模な列挙が可能になることが示された。

ABSTRACT

We report some computational results comparing parallel and sequential codes for vertex/facet enumeration problems for convex polyhedra. The problems chosen span the range from simple to highly degenerate polytopes. We tested one code (lrs) based on pivoting and four codes (cddr+, ppl, normaliz, PORTA) based on the double description method. normaliz employs parallelization as do the codes plrs and mplrs which are based on lrs. We tested these codes using various hardware configurations with up to 1200 cores. Major speedups were obtained by parallelization, particularly by the code mplrs which uses MPI and can operate on clusters of machines.

研究の動機と目的

• 多様な凸多面体における頂点および面の列挙コードの性能を評価すること。
• 計算的に困難な列挙問題を解く際の並列化の影響を評価すること。
• 異なる多面体タイプに対して最も効果的なアルゴリズムおよびハードウェア構成を特定すること。
• 多面体の退化度および出力サイズに基づいて、研究者が適切なツールを選択するための実用的ガイダンスを提供すること。

提案手法

• 本研究では、lrs（ピボット法）、cddr+、ppl、normaliz、porta（二重記述法）、および並列版のmplrsとplrsの合計6つのコードを評価した。
• テスト問題には、循環多面体、置換体、相関多面体に加え、cp6 や zfw91 のような極めて退化したインスタンスが含まれる。
• 単一マシンおよび最大1200コアのクラスタ上で計算を実行し、大規模なテストにはTsubame2スパコンが使用された。
• 退化度はlrsのベースカウントと出力サイズの推定値を用いて評価され、問題の取り扱いやすさを示す結果が得られた。
• 実行時間（秒）とコア数および問題タイプごとのスルーブロック比を用いて性能を測定した。
• mplrsコードはMPIを用いてクラスタ間での分散計算を可能とし、ほぼ線形のスケーラビリティを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる退化度を示す多面体において、頂点および面の列挙アルゴリズムの性能はどのように異なるか？
• RQ2 MPIベースの実装（例：mplrs）を用いた並列化により、どの程度の高速化が達成できるか？
• RQ3 cp6 や zfw91 のような出力サイズが大きな極めて退化した多面体に対して、どのアルゴリズムが最も効果的か？
• RQ4 16〜312コアの小規模クラスタは、単一コア実行と比較して実行時間を顕著に短縮できるか？
• RQ5 lrsに基づく出力サイズおよび実行時間の推定値は、問題の取り扱いやすさを予測するのにどの程度信頼できるか？

主な発見

• cp6において、1200コアを用いたmplrsはcddr+と比較して600倍の高速化を達成し、42分で処理を完了した。
• 最も困難な問題（cp6）において、単一マシンでの総実行時間は3週間であったが、312コアクラスタでは16,280秒（4.5時間）に短縮された。
• Tsubame2スパコン上でもmplrsはほぼ線形のスケーリングを示し、1200コアでcp6の実行時間を42分にまで短縮した。
• cp6 のような極めて退化した問題に対しては、lrsベースのピボット法が唯一の実用的かつ有効なアプローチであった。出力サイズは小さいが、計算量は非常に高い。
• cp6 や bv7 のような小さな整数出力を持つ問題では、二重記述法（normaliz や cddr+）はlrsベースのアプローチよりも非効率であった。
• 約10万ドルで構築された1200コアクラスタを用いることで、大多数の研究グループがスーパーコンピュータ並みの性能を実現できるようになった。