[論文レビュー] Comparison Methods for a Keller--Segel-type Model of Pattern Formations with Density-suppressed Motilities

Kentarou Fujie, Jie Jiang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 27被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、密度抑制型移動性を有するケラー＝セゲル型モデルを分析するための新規な比較原理を開発し、一般の単調減少で正の移動性関数が無限大で消える場合に、有限時刻における退化が発生しないことを証明した。n ≤ 3 に対して、古典解の全域的存在および時間に一様な有界性が確立された。2次元では臨界質量現象が見られる：臨界質量未満では全域的有界性が保たれ、臨界質量を超えると無限遠で有界でなくなる—これは古典的ケラー＝セゲルモデルの有限時刻 blowup とは著しく対照的である。

ABSTRACT

This paper is concerned with global existence as well as infinite-time blowups of classical solutions to the following fully parabolic kinetic system \begin{equation} \begin{cases} u_t=Δ(γ(v)u) v_t-Δv+v=u \end{cases} \qquad(0.1)\end{equation} in a smooth bounded domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$, $n\geq1$ with no-flux boundary conditions. This model was recently proposed in [8,20] to describe the process of stripe pattern formations via the so-called self-trapping mechanism. The system features a signal-dependent motility function $γ(\cdot)$, which is decreasing in $v$ and will vanish as $v$ tends to infinity. The major difficulty in analysis comes from the possible degeneracy as $v earrow+\infty.$ In this work we develop a new comparison method different from the conventional energy method in literature, which reveals a striking fact that there is no finite-time degeneracy in this system. More precisely, we use comparison principles for elliptic and parabolic equations to prove that degeneracy cannot take place in finite time in any spatial dimensions for all smooth motility functions satisfying $γ(s)>0$, $γ'(s)\leq0$ when $s\geq0$ and $\lim\limits_{s ightarrow+\infty}γ(s)=0.$ Then we investigate global existence of classical solutions to (0.1) when $n\leq3$ and discuss the uniform-in-time boundedness under certain growth conditions on $1/γ.$ In particular, we consider system (0.1) with $γ(v)=e^{-v}$. We prove that classical solution always exists globally, which must be uniformly-in-time bounded with arbitrary initial data of sub-critical mass. On the contrary, with certain initial data of super-critical mass, the solution will become unbounded at time infinity which differs from the finite-time blowup behavior of the Keller--Segel model.

研究の動機と目的

• 移動性 γ(v) が v → ∞ で単調減少かつ 0 に収束する場合に、完全な放物型ケラー＝セゲル型モデルにおける退化の問題に取り組むこと。
• γ(v) が退化する場合に、従来のエネルギー法では v の一様有界性を確立することが困難であるという制限を克服すること。
• γ(s) > 0、γ′(s) ≤ 0、lim_{s→∞} γ(s) = 0 を満たす一般の移動性関数に対して、古典解の全域的存在および時間に一様な有界性を調べること。
• 特に2次元における長時間挙動を解明すること、初期質量の条件に応じた挙動の違いを明らかにすること。
• 古典的ケラー＝セゲルモデルとは異なり、臨界質量を超えると有限時刻 blowup を示さないが、無限遠で有界でなくなるという臨界質量現象を示すこと。

提案手法

• u の L^p 積分可能性に依存しない、楕円型および放物型方程式に対して新規な比較原理を構築し、標準的なエネルギー法とは異なる手法を用いて系を分析する。
• 系の構造的性質を活用して、v の上界を直接導出する。γ(v) の減衰速度に関する仮定や γ′ の有界性に関する仮定を必要としない。
• 放物型＝楕円型極限および完全な放物型系に注目し、特に γ(v) = e^{-v} の場合に注目する。この場合、古典的ケラー＝セゲルモデルと同一の平衡状態およびリャプノフ汎関数を保持する。
• 初期データを、回転対称のプロファイルと対数的カットオフを用いて巧みに構築し、臨界質量閾値の鋭さを検証する。
• 長時間挙動を分析するためにリャプノフ汎関数を用い、全域的有界性を仮定してその汎関数の下限に矛盾を導く背理法を適用する。
• 大質量かつ高濃度の初期データを構築することで、リャプノフ汎関数を臨界閾値以下に押し下げ、矛盾を用いて長時間における無限遠での有界でなさを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 γ(v) → 0 となる場合に、系の放物型構造とシグナル依存拡散を有するにもかかわらず、移動性関数 γ(v) が有限時刻で退化する可能性はあるか？
• RQ2 n ≤ 3 の場合に、特に e^{-v} のような急速に減少する γ(v) を有する場合でも、すべての初期データに対して古典解が全域的に存在するか？
• RQ3 2次元における解の長時間挙動は何か？ また、古典的ケラー＝セゲルモデルとは、爆発または有界性の観点でどのように異なるか？
• RQ4 2次元において、全域的有界性と無限遠での有界でなさを分ける臨界質量閾値が存在するか？ また、古典的モデルの有限時刻 blowup と比べてどう異なるか？
• RQ5 有限時刻 blowup が発生しない状況下でも、リャプノフ汎関数を用いて、臨界質量を超える初期データに対して無限遠での無限大への発散を証明できるか？

主な発見

• 任意の滑らかで正で単調減少、かつ lim_{s→∞} γ(s) = 0 を満たす γ(v) に対して、空間次元に依存せず、有限時刻における移動性関数の退化は発生しない。
• n ≤ 3 の場合に、上記の条件を満たす移動性関数を有する限り、すべての初期データに対して古典解が全域的に存在し、時間に一様に有界である。
• 2次元では、臨界質量現象が見られる：臨界質量未満の初期データでは解は全域的に有界に保たれ、臨界質量を超える初期データでは t → ∞ のとき無限遠で有界ではなくなる。
• γ(v) = e^{-v} の場合、系は古典的ケラー＝セゲルモデルと同一の平衡状態およびリャプノフ汎関数を持つが、長時間挙動は根本的に異なる：有限時刻 blowup は発生しない。
• 臨界質量閾値は鋭い：8π を超える質量を持つ初期データは、無限遠での解の無限大への発散を引き起こす。この閾値は初期データの空間的分布に依存せず、質量が臨界を超える限り成立する。
• 大質量かつ集中したプロファイルを持つ初期データの構築により、リャプノフ汎関数がすべての可能な定常状態の下限を下回り、矛盾を用いて無限遠での有界でなさを証明できる。