[논문 리뷰] Complete permutation polynomials induced from complete permutations of subfields

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 19.

Coding theory and cryptography참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 완전 순열 다항식을 구성하기 위한 일반적 기법을 제시하며, 부분체의 완전 순열을 이용하고 노름 및 트레이스 사상의 성질을 활용한다. 다항식 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ 또는 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ 가 확장체에서 완전 순열을 유도할 수 있는 조건을 규명하여 최근 결과를 일반화하고, 알려진 부분체 순열로부터 체계적인 구성이 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose several techniques to construct complete permutation polynomials of finite fields by virtue of complete permutations of subfields. In some special cases, any complete permutation polynomials over a finite field can be used to construct complete permutations of certain extension fields with these techniques. The results generalize some recent work of several authors.

연구 동기 및 목표

• 부분체의 완전 순열로부터 유한체 위에서 완전 순열 다항식을 구성하기 위한 일반적 방법을 개발하는 것.
• 노름 및 트레이스 사상과 같은 대수적 구조를 활용하여 최근의 완전 순열 다항식 구성 결과를 확장하는 것.
• 레마 1.1과 체 이론적 사상에 기반한 통합 프레임워크를 제공하여 문헌에 알려진 결과를 일반화하는 것.
• 기존 기초 체에서의 다항식을 바탕으로 확장 체에서 새로운 완전 순열 다항식을 체계적으로 생성할 수 있도록 하는 것.
• 일반 순열 다항식보다 희귀하고 더 복잡한 완전 순열 다항식을 구성하는 데 도전하는 것.

제안 방법

• Lemma 1.1을 사용하여 $ A = \mathbb{F}_{q^n} $, $ S = \bar{S} = \mathbb{F}_q $, $ \lambda = \bar{\lambda} = \mathrm{N} $ 또는 $ \mathrm{tr} $ 로 설정하여 확장체의 순열을 부분체의 순열과 연결한다.
• 노름 사상 $ \mathrm{N}(x) = x^{(q^n-1)/(q-1)} $ 를 적용하여 $ \mathbb{F}_q $ 에서 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 로 완전 순열 다항식을 올리는 데, 조건 $ (n, q-1) = 1 $ 이 성립해야 한다.
• 트레이스 사상 $ \mathrm{tr}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{q^i} $ 를 사용하여 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 에서 완전 순열을 구성하며, 특히 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 의 순열에 초점을 맞춘다.
• 다항식의 일종인 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ 를 도입하여, $ xh(x) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 에서 완전 순열이면, $ n $, $ p $, $ k $ 에 대한 조건 하에서 이 다항식이 완전 순열임을 보인다.
• $ p $-다항식인 $ x^{p^k} - c x $ 가 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 를 순열로 만드는 데 사용되며, $ c $ 와 체 매개변수에 대한 충분한 조건이 필요하다.
• [7] 의 결과를 응용하여 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 의 순열을 구성하며, 특히 $ p \nmid n $ 이고 $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ 인 경우에 중점을 둔다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위에서 완전 순열 다항식을 부분체의 순열로부터 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 다항식 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ 가 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 에서 완전 순열을 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 트레이스 사상은 확장체에서 완전 순열 다항식을 구성하는 데 사용될 수 있으며, 그 경우 기초 체와 다항식 구조에 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 $ x^{p^k} - c x $ 가 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 를 순열로 만드는 조건은 무엇이며, 이를 통해 새로운 완전 순열을 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 기법은 [4, 9, 16] 의 기존 구성 방식을 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 정리 2.3은 $ (n, q-1) = 1 $ 라면 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ 가 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 에서 완전 순열 다항식이 되기 위한 필요충분조건이 $ xh(x^n) $ 이 $ \mathbb{F}_q $ 에서 완전 순열 다항식이 되는 것임을 규명한다.
• 정리 3.9는 트레이스 사상에 기반한 완전 순열 다항식의 일반적 프레임워크를 제공하며, $ xh(x) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 에서 완전 순열이어야 하고, $ L(x) $ 가 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 에서 순열을 유도해야 한다는 조건이 필요하다.
• 결론 3.12는 $ p \nmid n $ 이고 $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ 이면, $ c $ 에 대한 약간의 조건 하에 모든 $ c \in \mathbb{F}_q $ 에 대해 $ x^{p^k} - c x $ 가 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 를 순열로 만든다.
• 정리 3.13은 이전 결과를 일반화하여, $ xh(x) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 에서 완전 순열이면, $ (k,n)=1 $, $ p \nmid n $, $ (n, p^{(k,r)}-1)=1 $ 이면, 임의의 $ a \in \mathbb{F}_q^* $ 에 대해 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ 가 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 에서 완전 순열 다항식임을 보여준다.
• 레마 3.10은 $ x^{p^k} - c x $ 가 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 에 대해 단사(따라서 순열) 사상이 되는 명시적 충분 조건을 제시하며, 이는 $ c^{n(q-1)/(p^{(k,r)}-1)} $ 의 값에 따라 달라진다.
• 제안된 결과는 [4, 9, 16] 의 구성 방식을 일반화하며, $ \mathbb{F}_q $ 에서의 모든 완전 순열 다항식이 제안된 릿지 기법을 통해 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 에서 새로운 완전 순열 다항식을 생성하는 데 사용될 수 있음을 보여준다.