[論文レビュー] Complete Weight Enumerators of Some Linear Codes

Shudi Yang, Zheng‐an Yao|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限体上での2つの線形符号クラス $C_D$ 及びその一般化形 $C_{D,b}$ の完全重み列挙子を決定する。これらはトレース関数と特定の定義集合 $D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ を用いて定義される。ガウス和および有限体上での二次形式の性質を用いて、完全重み列挙子の明示的公式を導出し、それらからこれらの符号の重み分布が得られる。本研究の応用分野には暗号理論および秘密分散方式が含まれる。

ABSTRACT

Linear codes have been an interesting topic in both theory and practice for many years. In this paper, for an odd prime $p$, we determine the explicit complete weight enumerators of two classes of linear codes over $\mathbb{F}_p$ and they may have applications in cryptography and secret sharing schemes. Moreover, some examples are included to illustrate our results.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ に対して、有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の線形符号 $C_D$ 及び $C_{D,b}$ の完全重み列挙子を決定すること。
• これらの符号の重み分布を調査すること、特に暗号理論および秘密分散方式への応用の文脈において。
• ガウス和および二次形式理論を用いて、明示的かつ閉形式の表現を提供することで、先行研究における重み列挙子の拡張を図ること。
• 定義集合 $D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ の構造と関連する線形符号の完全重み列挙子との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者らは、$D$ を $\mathbb{F}_{p^m}$ の非零元でトレースが零であるものの集合とするとき、符号 $C_D$ を $\{ (\mathrm{Tr}(ad_1), \dots, \mathrm{Tr}(ad_n)) : a \in \mathbb{F}_{p^m} \}$ として定義する。
• トレース関数 $\mathrm{Tr}: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$ を用い、ガウス和の性質を活用して、$\mathrm{Tr}(x^2) = 0$ 及び $\mathrm{Tr}(ax) = \rho$（$\rho \in \mathbb{F}_p$）を満たす解の個数を数える。
• 完全重み列挙子は、すべてのコドワードについて和をとり、各体元がコドワード内で何回現れるかに応じた寄与を考慮して構成される。
• 一般化符号 $C_{D,b}$ の場合、各座標に定数項 $b \in \mathbb{F}_p$ のシフトを加え、重み寄与をそれに応じてずらして完全重み列挙子を導出する。
• 導出過程では、$\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ か $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ か、および $\rho = 0$ か $\rho \neq 0$ かに応じた場合分けを行い、既知の指数和に関する結果を用いる。
• 最終的な完全重み列挙子の式は、補題14および $n_a(\rho)$ の解の個数に関する結果を用いて導出され、これは $m$ の偶奇および $\mathrm{Tr}(a^2)$ の値に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上で、$D = \{x \in \mathbb{F}_{p^m}^* : \mathrm{Tr}(x^2) = 0\}$ を用いて定義される線形符号 $C_D$ の完全重み列挙子は何か？
• RQ2 定数項 $b \in \mathbb{F}_p$ を含む一般化符号 $C_{D,b}$ の完全重み列挙子は、$C_D$ のそれとどのように異なるか？
• RQ3 $C_D$ 及び $C_{D,b}$ の重み分布は何か？また、$p$、$m$、および $\mathrm{Tr}(a^2)$ の値にどのように依存するか？
• RQ4 ガウス和および二次形式理論を用いて、このクラスの符号に対して完全重み列挙子を明示的に計算できるか？
• RQ5 これらの列挙子は、暗号理論および秘密分散方式への応用にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $C_D$ の完全重み列挙子は、$m$ が奇数または偶数の場合にそれぞれ明示的に決定されており、$\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ か $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ か、$\rho = 0$ か $\rho \neq 0$ かに応じた異なる式が与えられる。
• $m$ が奇数の場合、$\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ かつ $\rho = 0$ のとき解の個数 $n_a(\rho)$ は $p^{m-2} - 1$ であり、$\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ かつ $\rho \neq 0$ のときは $p^{m-2}$ である。$\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ の場合は、$(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{p-1}{2}}$ 及び $\bar{\eta}(\mathrm{Tr}(a^2))$ を含む補正項が加わる。
• $m$ が偶数の場合、解の個数 $n_a(\rho)$ には $(-1)^{\frac{m}{2}(\frac{p-1}{2})^2}$ を含む補正項が含まれ、$\mathrm{Tr}(a^2) = 0$ と $\mathrm{Tr}(a^2) \neq 0$ で異なる式が得られ、それぞれ $p^{m-2} - 1$ および $p^{m-2} - (-1)^{\cdots}p^{\frac{m-2}{2}}$ となる。
• $C_{D,b}$ の完全重み列挙子は、$\mathbb{F}_p$ のすべての $b$ について和をとり、各項を $b$ 分だけずらすことで得られる。その結果、$\sum_{b=0}^{p-1} w_b^{n_a(0)} w_{1+b}^{n_a(1)} \cdots w_{p-1+b}^{n_a(p-1)}$ の形の和が得られ、各座標における定数シフトを適切に反映する。
• $C_D$ の重み分布は、[27] で先行して示されたように、2つまたは3つの非零重みを持つことが確認された。一方、$C_{D,b}$ は $p$ および $m$ に応じて、5つまたは7つの非零重みを持つ。
• 具体例を通じて結果の検証が行われ、完全重み列挙子が認証コードにおける偽装確率の解析や、秘密分散方式の設計に有効であることが示された。