[論文レビュー] Completeness of Ordered Fields

James F. Hall|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、全順序付アーベル環において、デデキンド、逐次、カントール、ヒルベルト、ライプニッツの完全性の複数の性質が同値であることを確立し、それらがすべて実数を特徴付けることを証明している。さらに、非アーベル環では、ヒルベルト、カントール、逐次完全性のみが保たれ、かつそれらはもはや同値ではなくなることが示され、古典的完全性同値性におけるアーベル性の重要な役割が浮き彫りになる。

ABSTRACT

The main goal of this project is to prove the equivalency of several characterizations of completeness of Archimedean ordered fields; some of which appear in most modern literature as theorems following from the Dedekind completeness of the real numbers, while a couple are not as well known and have to do with other areas of mathematics, such as nonstandard analysis. Continuing, we study the completeness of non-Archimedean fields, and provide several examples of such fields with varying degrees of properties, using nonstandard analysis to produce some relatively "nice" (in particular, they are Cantor complete) final examples. As a small detour, we present a short construction of the real numbers using methods from nonstandard analysis.

研究の動機と目的

• 全順序付アーベル環において、デデキンド、逐次、カントール、ヒルベルト、ライプニッツ完全性の同値性を確立すること。
• 順序体からアーベル性を除いた場合、完全性性質の同値性にどのような影響が及ぶかを調査すること。
• 8つの同値な公理系を用いた実数の代替的公理的特徴付けを提供すること。
• 非アーベル体、特に非標準拡張および漸近体の構造と性質を検討し、完全性同値性の反例とする。

提案手法

• 任意の順序体へのℚの標準的埋め込みを用いてアーベル性を定義し、アーベル体と非アーベル体を区別する。
• 飽和原理および非標準拡張技術を用いて、*ℝ や ρ-漸近体などの非アーベル体を構成する。
• 凸部分環およびイデアル（例：ℳρ と ℕρ）を用いて、ロビンソンの漸近数の体を商環 ℳρ/ℕρ として定義する。
• ハーン体構成法 ℝ((t^ℝ)) を用いて、漸近体 ℝ^ρ に埋め込み、*ℝ には存在しない収束性を示す。
• 補題 6.5 と定理 6.3 を用いて、非アーベル設定におけるカントール κ-完全性および逐次完全性を証明する。
• 漸近体の位相的および順序論的性質を分析し、順序位相と賦値位相が同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全順序付アーベル環において、デデキンド完全性、逐次完全性、カントール完全性は同値か？
• RQ2 順序体からアーベル性を除いた場合、完全性性質の同値性はどのように変化するか？
• RQ3 すべての有限非標準的元が標準的元に無限に近いというライプニッツ完全性条件——は、実数の代替的特徴付けとして用いられるか？
• RQ4 *ℝ や ℝ^ρ のような非アーベル体は、すべての古典的完全性性質を満たすか？もしそうでなければ、どの性質が失敗するか？
• RQ5 特に飽和性と完全性の観点から、ℝ^ρ のような非アーベル体は標準順序体とどのような構造的性質で異なるか？

主な発見

• 全順序付アーベル環では、デデキンド完全性、逐次完全性、カントール完全性、ヒルベルト完全性、ライプニッツ完全性がすべて同値である。
• 非アーベル環では、ヒルベルト完全性、カントール完全性、逐次完全性のみが成り立ち、かつそれらはもはや同値ではない。
• 非アーベル環では、逐次完全性はカントール完全性の必要条件ではあるが十分条件ではない。これは定理 6.6 および例 9.3 によって示されている。
• ロビンソンの ρ-漸近数の体 ℝ^ρ は、非アーベル的で、実閉的であり、逐次完全かつカントール完全であるが、代数的飽和性を持たない。
• ℝ^ρ は、すべての形式的形式級数体（例：ℝ((t^ℝ))) を埋め込むことができ、その埋め込みは ℝ^ρ では収束するが *ℝ では収束しない。
• ℝ^ρ では、順序位相と賦値距離位相が同値であり、漸近体に特有の非自明な位相的性質である。