[論文レビュー] Complexity growth rate, grand potential and partition function

Wei Sun, Xian-Hui Ge|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、熱力学的関係を介して、量子複雑性と統計力学との間の新しい接続を提案する。具体的には、CV 2.0予想（$\dot{\mathcal{C}} \sim PV$）とグランドポテンシャル $\Omega = -PV$ を用いて、複雑性増加率を分配関数と結びつける $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$ を導出する。この関係は、SYKモデルおよびAdS黑洞において検証され、Lloyd限界と整合的であり、相転移のための複雑性が順序パラメータである可能性を示唆する。

ABSTRACT

We examine the complexity/volume conjecture and further investigate the possible connections between complexity and partition function. The complexity/volume 2.0 states that the complexity growth rate $\mathcal{\dot{C}}\sim PV$. In the standard statistics, there is a fundamental relation among $PV$, the grand potential $Ω$ and the partition function $\mathcal{Z}$. By using this relation, we are able to construct an ansatz between complexity and partition function. The complexity/partition function relation is then utilized to study the complexity of the thermofield double state of extended SYK models for various conditions. The relation between complexity growth rate and black hole phase transition is also discussed.

研究の動機と目的

• 熱力学的恒等式を通じて、量子複雑性と統計力学とのより深い関係を確立すること。
• CV 2.0予想とグランドポテンシャルの関係を用いて、複雑性増加率 $\dot{\mathcal{C}}$ が $T \ln \mathcal{Z}$ として表現可能かどうかを検証すること。
• 提案された複雑性-分配関数関係が、変形されたSYKモデルやAdSブラックホールを含むさまざまな量子系において有効であるかを検討すること。
• 量子複雑性がブラックホール相転移の順序パラメータとして機能できるかを調査すること。
• 提案された関係下で、複雑性増加率のLloyd限界が破られないかを検証すること。

提案手法

• CV 2.0予想 $\dot{\mathcal{C}} \sim PV$ と熱力学的恒等式 $\Omega = -PV$ から、$\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$ の関係を導出する。ここで $\Omega$ はグランドポテンシャルである。
• 分配関数 $\mathcal{Z}$ との関係を確立するため、$\ln \mathcal{Z} = -\Omega / (kT)$ を用いる。
• 実フェルミオンおよび複素フェルミオンバージョンを含む、拡張されたSYKモデルにおける熱場二重状態（TFD状態）の複雑性を分析する。また、$f$-および $c$-フェルミオンを含む二バンドモデルも対象とする。
• 自由エネルギー $F$ を用いて、$\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ の関係を導出し、スワーツシルト-AdSおよびライスナー＝ノルストレム-AdSブラックホールにおける複雑性増加率を計算する。
• Lloyd限界 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$ と比較し、さまざまな状況での飽和の有無を評価する。
• 最大仕事の原理を用いて、$\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$ を機械的仕事 $\Delta W = P\Delta V$ と類似させ、複雑性を熱力学的仕事と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱力学的恒等式とCV 2.0予想を用いて、複雑性増加率を $\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$ として表現できるか？
• RQ2 提案された複雑性-分配関数関係は、二バンド型や複素フェルミオンを含むSYKモデルのさまざまな相において成立するか？
• RQ3 AdSブラックホールにおいて、提案されたフレームワーク下で複雑性増加率のLloyd限界が破られるか？
• RQ4 量子複雑性はブラックホール相転移の順序パラメータとして機能できるか？
• RQ5 ブラックホール熱力学の文脈において、$\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ の関係は、標準的な $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$ とどのように比較できるか？

主な発見

• 元のSYKモデルおよび複素フェルミオン拡張版において、$\dot{\mathcal{C}} \sim T \ln \mathcal{Z}$ の関係が検証され、$\dot{\mathcal{C}} \sim TS$ が成立する。
• 二バンドSYKモデルでは、SYK相互作用を持つ $f$-フェルミオンのみが $\dot{\mathcal{C}} \sim TS$ を満たしており、複雑性増加が相互作用セクターに依存していることを示唆する。
• SYK「トンネル」のTFD状態において、複雑性増加率は先行研究の予測と定性的に一致する。
• スワーツシルト-AdSおよびライスナー＝ノルストレム-AdSブラックホールにおいて、$\dot{\mathcal{C}} \sim -F$ の関係が成立し、$F$ は自由エネルギーを表す。
• 複雑性増加率は一般化されたLloyd限界 $\dot{\mathcal{C}} \leq 2M$ を満たすが、飽和はせず、スワーツシルト-AdSブラックホールでは $\dot{\mathcal{C}} = M/2$ となる。
• 最大仕事の原理により、$\dot{\mathcal{C}} = 2P\Delta V$ が支持され、CV 2.0下では $\dot{\mathcal{C}} \leq -\Delta F$ に帰着する。これは熱力学的制約と整合的であることを確認する。