[論文レビュー] Composite Genus One Belyi Maps

Raimundas Vidūnas, Yang‐Hui He|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、種数 0 のベリーマップと楕円曲線被覆および同種写像を合成することにより、明示的な種数 1 のベリーマップを構成する体系的な手法を提示する。これにより、楕円曲線上に多数のブレーンタイリング・デッサンを明示的に実現できる。本手法により、10〜18次の種数 1 のデッサンが得られ、特に j-不変量 0 のものも含む。また、クイバーゲージ理論およびカラビ＝ヤウ幾何学の物理的モデルに対応する代数的方程式と定義体のデータが提供される。

ABSTRACT

Motivated by a demand for explicit genus 1 Belyi maps from theoretical physics, we give an efficient method of explicitly computing genus one Belyi maps by (1) composing covering maps from elliptic curves to the Riemann sphere with simpler (univariate) genus zero Belyi maps, as well as by (2) composing further with isogenies between elliptic curves. This gives many new explicit dessins on the doubly periodic plane, including several which have been realized in the physics literature as so-called brane-tilings in the context of quiver gauge theories.

研究の動機と目的

• 理論物理学における明示的種数 1 ベリーマップの不足に応えること、特にクイバーゲージ理論におけるブレーンタイリングモデルに対して。
• 合成技術を用いた、種数 1 ベリーマップを構成するための効率的な計算フレームワークを開発すること。
• 物理学の文献に既知のブレーンタイリング構成に対応する、楕円曲線上の明示的デッサン・ド・エンファンを実現すること。
• カラビ＝ヤウ3次元多様体のための既知のベリーマップのリストを、代数的方程式と定義体のデータを提供することで拡張すること。
• 明示的デッサン構成を通じて、代数的幾何学、数論、および理論物理学の橋渡しをすること。

提案手法

• 4点で分岐する種数 0 のベリーマップ φ₀ と、P¹ への2次被覆 π:E→P¹ を合成し、合成写像 β=π∘φ₀ が {0,1,∞} で分岐する種数 1 ベリーマップとなるように保証する。
• 楕円曲線間の同種写像を用いて、既存の種数 1 ベリーマップから新たな種数 1 ベリーマップを生成する。特に j=0 および j=12^3 の曲線に注目する。
• E→P¹ へのパラメトリック3次被覆を適用し、j=0 曲線に対して y³=z(z−1) のような対称的ケースに特殊化する。
• 代数的数体 Q(√−15)、Q(√7)、Q(ω₃) を用いて、数体上にマップを定義する。
• 分岐パスポート表記 [a₁^p₁⋯/b₁^q₁⋯/c_∞^r₁⋯] を用いて、マップの分岐構造を分類および検証する。
• デッサン、クイバーゲージ理論、およびトーリックカイラビ＝ヤウ3次元多様体の対応関係を活用し、物理的関連性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 0 ベリーマップと楕円曲線被覆を用いて、どのように種数 1 ベリーマップを体系的に構成できるか。
• RQ2 既知のクイバーゲージ理論におけるブレーンタイリング構成のうち、どの構成が合成により明示的な種数 1 デッサンとして実現可能か。
• RQ3 特定のデッサンに対応するベリーマップの定義体は何か。また、それらは下にある楕円曲線の j-不変量とどのように関係するか。
• RQ4 楕円曲線間の同種写像はどのようにして新たな種数 1 ベリーマップを生成するか。また、それらの結果となるマップの分岐構造は何か。
• RQ5 物理的双対性（例えばセイバーグ双対性）の下で、デッサンはどの程度保存されるか。また、ガロア共役はそれらの構造にどのように影響するか。

主な発見

• 本手法により、10, 12, 14, 16, 18次の明示的種数 1 ベリーマップが成功裏に構成され、特に複数の新しい 12 次マップが得られた。
• Q(√−15)、Q(√7)、Q(√2√7−7) などの数体上に、j-不変量 −108/5 や 4/5⋅321³ に対応する新しい種数 1 デッサンが実現された。
• j=0 のマップ、特に y³=z(z−1) 上のマップに対して、Q(ω₃) や Q(i) 上に定義された明示的ベリーマップが提供された。
• 正方形格子および j=0 曲線における同種写像を用いて、特に対称的構成に対して新たな種数 1 マップが生成された。
• 完全なマップ計算を避けるために、カットを施した種数 0 デッサンを用いることで、タイリング実現のための実用的代替手法が可能となった。
• 付録では、すべての構成マップに対応する明示的デッサンが提示され、方程式および定義体とクロスリファレンスされ、ブレーンタイリング用の種数 1 ベリーマップの部分的カタログを形成している。