[論文レビュー] Computing automorphism groups of shifts using atypical equivalence classes

Ethan M. Coven, Anthony Quas+1 more|Open Research Online (The Open University)|May 11, 2015

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特異な同値類とオドメータの算術を用いて、原始的定長置換符号系の両側自己同型群を計算するアルゴリズムを提示する。本稿は、多くの符号系、特に一致を有するものや高さ1のものに対して、このような群が巡回群であることを証明し、2つの同様の符号系間の同相写像を計算する方法を拡張する。

ABSTRACT

We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,σ)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,σ)/\langle σ angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.

研究の動機と目的

• 原始的定長置換符号系の両側自己同型群を計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 一致を有するものや高さ1の符号系に対して、自己同型群が巡回群であることを確立すること、特に多くのトーペリッツ符号系を含む。
• 2つの同様の符号系間の同相写像を計算する方法を拡張すること。
• 最大等連続因子から導かれるフィンガープrint不変量を用いて、自己同型群構造にconstructiveな境界を与えること。
• 部分線形複雑性を持つ符号系における自己同型群計算の計算可能性を、置換系に焦点を当てて検討すること。

提案手法

• 最大等連続因子（オドメータ）を用いて、各自己同型に対して $\mathbb{Z}_r$ 内の「フィンガープrint」を定義し、探索空間を削減する。
• オドメータの算術的性質を適用して、可能なフィンガープrintを分母が小さい有理数に制限する。
• 候補となるフィンガープrintが実際に自己同型に対応するかを確認するための検査可能な条件（命題3.19および3.21を用いて）を導入する。
• 列番号 $c$ とフィンガープrintの周期性を活用し、同相写像の再帰的関係を導出する。
• 有界半径のブロック写像（例：$\Phi^f_{1,0}$）を用いて同相写像を構成し、高次の反復における置換ダイナミクスを用いて一貫性を検証する。
• $\kappa(\Phi) = k/(1 - r^p)$ で $0 < k < r^p - 1$ を満たすことを用いて、可能な同相写像を特徴付け、検証を自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的定長置換符号系の自己同型群は、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ2 自己同型群が巡回群である条件は何か、特に一致を有するものや高さ1の符号系においては？
• RQ3 2つの同様の符号系間の位相的同相写像を定義するためのブロック写像の必要十分条件は何か？
• RQ4 オドメータ因子におけるフィンガープrint不変量は、自己同型を制限・分類するためにどのように利用できるか？
• RQ5 部分線形複雑性を持つ符号系に対して、商群 $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle\sigma\rangle$ の構造は何か、そしてどのように境界を定められるか？

主な発見

• 一致を有する高さ1の原始的定長置換符号系の両側自己同型群は巡回群である。
• フィンガープrint制約を $\mathbb{Z}_r$ 内に用いたアルゴリズムが、このような符号系の $\mbox{Aut}(X_\theta, \sigma)$ を計算可能であることを提供する。
• 純粋に離散的スペクトルを持つ符号系（すなわち、一致を有するもの）に対しては、自己同型群はシフトと、場合によっては文字交換自己同型によって生成される。
• 2つの原始的定長置換符号系間の同相写像の集合は、有界半径のブロック写像を用いてアルゴリズム的に決定可能である。
• 同相写像 $\Phi$ のフィンガープrint $\kappa(\Phi)$ は、$0 < k < r^p - 1$ を満たす形の有理数 $k/(1 - r^p)$ でなければならない。また、置換反復において再帰的条件を満たす必要がある。
• このような符号系の片側自己同型群は、オドメータの算術および非自明な片側自己同型の不在により、自明であることが示された。