[論文レビュー] Computing multiway cut within the given excess over the largest minimum isolating cut

Igor Razgon|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、最小分離カットサイズの最大値 $ m $ よりも $ k $ 大きいサイズのマルチウェイカットを計算する $ O(kn^{k+3}) $ アルゴリズムを提示する。もしそのようなカットが存在しない場合はそれを決定する。主な貢献は、サイズが $ m + k $ 以下の重要な $ X $-$ Y $ 分離カットの数が $ \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} $ 以下であることを示す組合せ的境界の確立であり、これにより効率的な列挙が可能となり、保証された下界より上にパラメータ化されたマルチウェイカット問題が解ける。

ABSTRACT

Let $(G,T)$ be an instance of the (vertex) multiway cut problem where $G$ is a graph and $T$ is a set of terminals. For $t \in T$, a set of nonterminal vertices separating $t$ from $T \setminus \{T\}$ is called an \emph{isolating cut} of $t$. The largest among all the smallest isolating cuts is a natural lower bound for a multiway cut of $(G,T)$. Denote this lower bound by $m$ and let $k$ be an integer. In this paper we propose an $O(kn^{k+3})$ algorithm that computes a multiway cut of $(G,T)$ of size at most $m+k$ or reports that there is no such multiway cut. The core of the proposed algorithm is the following combinatorial result. Let $G$ be a graph and let $X,Y$ be two disjoint subsets of vertices of $G$. Let $m$ be the smallest size of a vertex $X-Y$ separator. Then, for the given integer $k$, the number of \emph{important} $X-Y$ separators \cite{MarxTCS} of size at most $m+k$ is at most $\sum_{i=0}^k{n \choose i}$.

研究の動機と目的

• 保証された下界 $ m $ よりも $ k $ 大きいサイズのマルチウェイカット問題を、$ m $ が最大の最小分離カットサイズであるというパラメータ化で取り扱うこと。
• 特に最適解が大きい場合に、従来のパラメータ化（解のサイズ）を改善し、保証された値より上にパラメータ化する新しいアプローチを導入すること。
• サイズが $ m + k $ 以下の重要な $ X $-$ Y $ 分離カットの数に対する、以前の指数的境界よりも著しくタイトな新しい組合せ的境界を確立すること。
• この新しいパラメータに関して、マルチウェイカット問題が XP に属することを示し、将来的な FPT アルゴリズムの可能性を切り開くこと。

提案手法

• 解のサイズではなく、最大の最小分離カット $ m $ よりも $ k $ 大きいサイズという新たなパラメータ化を提案する。
• 重要な $ X $-$ Y $ 分離カットの概念を導入し、構造的性質と小さな頂点部分集合への単射写像を用いて、過剰が最大 $ k $ の場合にその数が $ \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} $ 以下であることを証明する。
• すべての最適マルチウェイカットが、あるターミナルのための重要な分離カットを含むことを利用し、過剰が有界な重要な分離カットの再帰的探索を行う。
• 重要な分離カットの境界を活用して、候補となるカットを列挙し、残余インスタンスを再帰的にチェックする動的計画法風のアルゴリズムを設計する。
• 過剰が有界な残余インスタンスに対して既知のアルゴリズムを適用し、合計実行時間が $ O(kn^{k+3} + |T|n^3) $ 以内に保たれることを保証する。
• 正規化とワーニング分解を用いて分離カットの構造を簡略化し、効率的な列挙と一意性の保証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適解が大きい場合に、解のサイズではなく保証された下界より上にパラメータ化することで、マルチウェイカット問題を効率的に解くことは可能か？
• RQ2 サイズが $ m + k $ 以下の重要な $ X $-$ Y $ 分離カットの最大数はどれくらいか？ここで $ m $ は最小分離カットサイズである。
• RQ3 重要な分離カットに、サイズに依存しない $ k $ の多項式的または指数的でない境界を与える構造的性質は存在するか？
• RQ4 この境界を用いて、$ m $ よりも $ k $ 大きいサイズのマルチウェイカットに対して、固定パラメータ可 tractable または効率的に解けるアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 過剰が $ k $ の重要な分離カットの数は、$ n $ と $ k $ に依存する形で、効率的な列挙が可能か？

主な発見

• サイズが $ m + k $ 以下の重要な $ X $-$ Y $ 分離カットの数は $ \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} $ 以下である。これは、以前の $ 4^{m+k} $ の境界よりも著しく小さい。
• この境界は、複合ワーニングと重要な分離カットの構造的性質を活用し、サイズが最大 $ k $ の小さな頂点部分集合への単射写像から導出される。
• アルゴリズムの実行時間は $ O(kn^{k+3} + |T|n^3) $ であり、$ k $ が固定されている場合に多項式時間で解けるため、XP クラスに属する。
• 本手法により、保証された値 $ m $、特に最大の最小分離カットの上にパラメータ化したマルチウェイカット問題に対する最初のパラメータ化が可能になった。
• 過剰が有界な重要な分離カットの再帰的探索により、サイズが $ m + k $ 以下のマルチウェイカットの存在を正しくチェックする。
• 本結果により、保証された下界より上にパラメータ化したマルチウェイカット問題に対する FPT アルゴリズムの研究基盤が築かれた。