[論文レビュー] Computing the Multicover Bifiltration

René Corbet, Michael Kerber+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、EdelsbrunnerとOsangの菱形タイル張りに基づく多面体二重フィルトレーションを用いて、トポロジカルデータ解析におけるマルチカバー二重フィルトレーションの計算的に効率的な組合せ的モデルを導入する。この手法は次元dにおいてO(nd+1)のサイズ複雑度を達成し、2パラメータの恒常ホモロジーのスケーラブルな計算を可能にする。実験結果では、d = 2とd = 3の場合にそれぞれサイズと時間の成長が準四乗および準立方的であることが示されている。

ABSTRACT

Given a finite set A ⊂ ℝ^d, let Cov_{r,k} denote the set of all points within distance r to at least k points of A. Allowing r and k to vary, we obtain a 2-parameter family of spaces that grow larger when r increases or k decreases, called the multicover bifiltration. Motivated by the problem of computing the homology of this bifiltration, we introduce two closely related combinatorial bifiltrations, one polyhedral and the other simplicial, which are both topologically equivalent to the multicover bifiltration and far smaller than a Čech-based model considered in prior work of Sheehy. Our polyhedral construction is a bifiltration of the rhomboid tiling of Edelsbrunner and Osang, and can be efficiently computed using a variant of an algorithm given by these authors as well. Using an implementation for dimension 2 and 3, we provide experimental results. Our simplicial construction is useful for understanding the polyhedral construction and proving its correctness.

研究の動機と目的

• 元の幾何的構成と位相的に同値である、マルチカバー二重フィルトレーションの計算的に効率的な組合せ的モデルを開発すること。
• 従来のČechベースのモデルの高い計算コストを克服し、より小さい組合せ的代替手法を導入すること。
• 密度のばらつきや外れ値を含むデータにおける2パラメータの恒常ホモロジーの実用的計算を可能にすること。
• 複数の空間的および密度スケールにおけるトポロジカル構造の分析のためのスケーラブルなフレームワークを提供すること。
• 実世界のデータ解析におけるマルチカバー二重フィルトレーションの将来の応用を支援すること。

提案手法

• Rd+1における菱形タイルに基づく多面体二重フィルトレーションを構築し、これはマルチカバー二重フィルトレーションと位相的に同値である。
• EdelsbrunnerとOsangのアルゴリズムの適応版を用いて、菱形タイルの効率的計算を実現する。
• 菱形二重フィルトレーションと元のマルチカバー二重フィルトレーションとの間の位相的同値性を形式的に証明する単体的モデルを導入する。
• kパラメータのしきい値を用いて二重フィルトレーションのサイズを制御し、関連する密度レベルへの計算を制限する。
• d = 2およびd = 3における実装を行い、実験的評価を通じてスケーラビリティを示す。
• 二重フィルトレーションを用いてヒルベルト関数を計算し、可視化することでノイズ下での安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチカバー二重フィルトレーションと位相的に同値であるが、より小さい組合せ的二重フィルトレーションを構築可能か？
• RQ2 そのようなモデルの計算複雑度は何か？また、実用的なデータサイズにスケーラブルか？
• RQ3 次元およびしきい値Kの増加に伴い、モデルのサイズと計算時間はどのように増加するか？
• RQ4 そのモデルは2パラメータの恒常ホモロジー不変量の効率的計算を可能にするか？
• RQ5 理論的に予測されたように、モデルは幾何的摂動およびノイズ下でも安定性の性質を保持するか？

主な発見

• 菱形に基づく多面体二重フィルトレーションは、次元dにおいてO(nd+1)のサイズ複雑度を達成し、Čechベースのモデルよりも顕著に小さい。
• d = 2の場合、二重フィルトレーションおよびそのFIREP（フィルタードリップス複体）のサイズは、Kの増加に伴い準四乗的に増加する。
• d = 3の場合、サイズはKの増加に伴い準立方的に増加し、良好なスケーラビリティを示している。
• 計算時間およびメモリ使用量は、点数の増加にほぼ線形に増加し、わずかに超線形的傾向を示す。
• 実験結果は、菱形ベースのモデルの相対的性能がKの増加に伴い向上することを確認している。
• rivet4を用いた最初のヒルベルト関数の可視化により、ノイズが多く複雑なデータ上でもマルチカバー二重フィルトレーションのリプシッツ安定性が示された。