[논문 리뷰] Concentrating standing waves for the fractional nonlinear Schrödinger equation

Juan Dávila, Manuel del Pino외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 08.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임계점에서의 집중을 보이는 다중 스파이크 정상파 솔루션의 존재성을, 임계점에서의 집중을 보이는 다중 스파이크 정상파 솔루션의 존재성을 입증한다. 이는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 잠재력 $ V(x) $ 의 임계점에서 집중하는 것으로, Lyapunov-Schmidt 감소를 통해 입증된다. 주요 결과는 고전적인 Floer-Weinstein 및 Oh 결과를 $ 0 < s < 1 $ 인 분수적 경우로 확장하여, 비타당한 임계점 주위에 $ k $-피크 솔루션의 존재를 입증한다.

ABSTRACT

We consider the semilinear equation $$ ε^{2s} (-Δ)^s u + V(x)u - u^p = 0, \quad u&gt;0, \quad u\in H^{2s}(\R^N) $$ where $0 0$, and $ε&gt;0$ is a small number. Letting $w_λ$ be the radial ground state of $(-Δ)^s w_λ+ λw_λ- w_λ^p=0$ in $H^{2s}(\R^N)$, we build solutions of the form $$ u_ε(x) \sim \sum_{i=1}^k w_{λ_i} ((x-ξ_i^ε)/ε),$$ where $λ_i = V(ξ_i^ε)$ and the $ξ_i^ε$ approach suitable critical points of $V$. Via a Lyapunov Schmidt variational reduction, we recover various existence results already known for the case $s=1$. In particular such a solution exists around $k$ nondegenerate critical points of $V$. For $s=1$ this corresponds to the classical results by Floer-Weinstein and Oh.

연구 동기 및 목표

• 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 집중 정상파에 관한 고전적 결과를 분수적 라플라스 연산자 경우($ 0 < s < 1 $)로 확장한다.
• 소수의 피크 솔루션의 존재를 입증한다. $ \varepsilon \to 0 $ 일 때, 매끄러운 잠재력 $ V(x) $ 의 임계점에서 집중한다.
• variational 감소를 사용하여 $ s = 1 $ 인 Floer-Weinstein 및 Oh 결과를 비국소적 분수적 설정으로 일반화한다.
• 해의 점근적 행동을 $ H^{2s}(\mathbb{R}^N) $ 에서 분석하고, 집중 프로파일을 특성화한다.
• $ k $-스파이크 솔루션의 존재를 $ V $ 의 비퇴화된 임계점 주위에서 입증하고, 스파이크의 위치와 붕괴에 대한 정밀한 제어를 한다.

제안 방법

• 스케일된 반지름 기저 상태 $ w_{\lambda}(x) = \lambda^{1/(p-1)} w(\lambda^{1/(2s)} x) $ 의 초합으로 근사 솔루션을 구성한다. 여기서 $ \lambda = V(\xi) $ 이고, 중심은 $ \xi_i^\varepsilon $ 에 놓여 있다.
• 무한차원 문제를 매개변수 $ \xi_i^\varepsilon $ 에서의 유한차원 문제로 감소시키기 위해 Lyapunov-Schmidt 변량 감소 방법을 적용한다.
• 각 스파이크 주위의 선형화된 연산자의 핵을 제어하기 위해 반지름 기저 상태 $ w $ 의 비퇴화성을 사용한다.
• 에너지 함수 $ J_\varepsilon $ 의 점근적 전개와 가중된 노름에서의 오차 항의 추정을 사용하여 스파이크 간 상호작용을 제어한다.
• 붕괴를 방지하고 상호작용 항의 붕괴를 보장하기 위해, 분리 거리 $ |\xi_i^\varepsilon - \xi_j^\varepsilon| > \varepsilon^{1 - s/4} $ 를 갖는 구성공간 $ \Lambda $ 를 설정한다.
• 도수 이론과 연속성 추론에 의존하여 감소된 함수의 임계점을 보여주며, 이는 진짜 솔루션에 해당한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 $ 0 < s < 1 $ 일 때 다중 스파이크 솔루션이 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 솔루션은 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 잠재력 $ V(x) $ 의 임계점에서 집중하는가?
• RQ3 고전적 결과가 $ s = 1 $ 인 경우에서 분수적 경우로 얼마나 일반화되는가?
• RQ4 스파이크 간 상호작용과 비국소 효과는 다중 피크 솔루션의 존재성과 위치에 어떻게 影향을 미치는가?
• RQ5 $ V(x) $, $ p $, $ s $ 에 어떤 조건이 존재하면 분수적 설정에서 $ k $-피크 솔루션이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 $ k \geq 1 $ 에 대해, $ V \in C^{1,\alpha} \cap L^\infty $ 이고 $ \inf V > 0 $ 이며, $ \Lambda_i \subset \mathbb{R}^N $ 이 서로소인 유계 열린 집합이며 $ \deg(\nabla V, \Lambda_i, 0) \neq 0 $ 이면, 충분히 작은 $ \varepsilon $ 에 대해 $ k $-스파이크 솔루션이 존재한다.
• 만약 $ V \in C^2 $ 이고 $ k $ 개의 비퇴화된 임계점 $ \xi_i^0 $ 를 가진다면, $ \xi_i^\varepsilon \to \xi_i^0 $ 일 때 $ \varepsilon \to 0 $ 이면 $ k $-스파이크 솔루션 $ u_\varepsilon $ 가 존재한다.
• 근사식 $ u_\varepsilon \sim \sum_{i=1}^k w_{V(\xi_i^\varepsilon)}((x - \xi_i^\varepsilon)/\varepsilon) $ 의 오차는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ H^{2s}(\mathbb{R}^N) $ 에서 0으로 수렴한다.
• 스파이크 간 상호작용 에너지는 $ O(\varepsilon^{2s}) $ 로 붕괴하고, 주된 에너지는 잠재력 값 $ V(\xi_i^\varepsilon) $ 에 의해 결정된다.
• 스파이크의 위치를 제어하는 감소된 함수 $ I(q) $ 는 작은 $ \varepsilon $ 에 대해 $ \nabla I(q^\varepsilon) = 0 $ 을 만족하며, 도수 이론을 통해 존재성을 보장한다.
• 이 방법은 잠재력의 $ C^1 $-변형에 대해 강건하여, 임계점의 존재성과 따라서 솔루션의 존재성을 유지한다.