[論文レビュー] Conformal blocks in the tensor product of vector representations and localization formulas

Richárd Rimányi, Alexander Varchenko|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$σ\mathfrak{sl}_m$ ベッセル＝ツミン＝ワッテン理論における球面上のレベル1におけるコンフォーマルブロックについて、等長的局在化を用いて公式を提示する。これは、局在化有理関数に類似した多項式として表現される。任意のレベルにおけるコンフォーマルブロックの生成集合は、レベル1のブロックの積を用いて構成され、一般のマークド点において空間を張ることを証明する。

ABSTRACT

Using equivariant localization formulas we give a formula for conformal blocks at level one on the sphere as suitable polynomials. Using this presentation we give a generating set in the space of conformal blocks at any level if the marked points on the sphere are generic.

研究の動機と目的

• 球面上の$σ\mathfrak{sl}_m$ CFTにおけるレベル1のコンフォーマルブロックについて、等長的局在化技術を用いて明示的な公式を導出すること。
• コンフォーマルブロック多項式と等長的コホロジー局在化公式から生じる有理関数との間の関係を確立すること。
• レベル1のコンフォーマルブロックの積を用いて、任意のレベルにおけるコンフォーマルブロックの生成集合を構成すること。
• 一般のマークド点における球面上のコンフォーマルブロック空間に対して、構成された要素がその空間を張ることを証明すること。
• 今後、対称多項式およびシューベルト計算を用いてコンフォーマルブロックの構造を調査すること。

提案手法

• 等長的局在化公式を用いて、レベル1における1次元のコンフォーマルブロック空間を、局在化積分に類似した単一の多項式として表現する。
• $σ\mathfrak{gl}_m$ が $σ\mathbb{C}[y^{(1)},\dots,y^{(m)}]$ に作用することにより、ベクトル表現のテンソル積を多項式空間として表現する。
• $σ\boldsymbol{\lambda}$-対称多項式 $h$ と有理関数分母 $R$ を用いて、関数族 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ を定義する。
• 基本対称多項式 $Z_i^{(k)}$ を用いてシュール型多項式 $s^{(k)}(\mu)$ を定義し、これにより $P_{\boldsymbol{z}}[h]$ の構成に用いる。
• [FSV1, FSV2] からの微分方程式を用いて、得られた $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 関数がコンフォーマルブロック空間に属することを検証する。
• レベル1の公式を構築の基本として用い、積を用いて高レベルのコンフォーマルブロックを生成し、一般の $\boldsymbol{z}$ に対して線形独立性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上のレベル1におけるコンフォーマルブロックは、等長的局在化技術を用いて単一の多項式として表現可能か？
• RQ2 レベル1におけるコンフォーマルブロックの明確な代数的構造は何か？ そして、局在化公式から生じる有理関数とどのように類似しているか？
• RQ3 レベル1のコンフォーマルブロックは、任意のレベルにおけるコンフォーマルブロック空間全体を生成するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 どの対称多項式 $h$ に対して、関数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ が線形独立なコンフォーマルブロックを生成するか？
• RQ5 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ 関数の張る空間とシューベルト計算またはコホロロジー的構造との関係は何か？

主な発見

• レベル1におけるコンフォーマルブロック空間は1次元であり、等長的局在化を用いて明示的な生成多項式が構成され、局在化有理関数に類似した構造を持つ。
• $m=2$ の場合、この公式は [V08] で既に知られていた結果を一般化し、任意の $m$ に拡張する。
• 構成された関数 $P_{\boldsymbol{z}}[h](\boldsymbol{\lambda})$ は、一般のマークド点 $\boldsymbol{z}$ に対して任意のレベル $\ell \geq d(\boldsymbol{\lambda})$ におけるコンフォーマルブロック空間を張る。
• 具体的な例では、$h = s^{(4)}(0), s^{(4)}(1), s^{(4)}(1,1)$ を用いた $P_{\boldsymbol{z}}[h](4,2)$ が線形独立であり、$\operatorname{CB}^2_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ に属することを示す。さらに、追加の $h$ が $\operatorname{CB}^3_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ を生成する。
• $\operatorname{CB}^2_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ の次元は4であり、$\operatorname{CB}^3_{\boldsymbol{z}}(4,2)$ の次元は8である。構成された $P_{\boldsymbol{z}}[h]$ 関数はこれらの空間を完全に張らないため、さらなる研究が求められる。
• この構成は、コンフォーマル場理論と等長的コホロジーの間の深い関係を示唆しており、両分野の相互発展に寄与する可能性がある。