[論文レビュー] Conformal Bootstrap Approach to O(N) Fixed Points in Five Dimensions

Jin-Beom Bae, Soo-Jong Rey|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、5次元 conformal field theoryにおけるO(N)対称固定点を同定するため、従来の1ギャップ手法に欠ける限界を克服する2ギャップ共形ブートストラップ手法を導入する。2つの最低位のスカラー演算子のスケーリング次元を指定することで、2つの異なる先端を持つ解空間が得られ、一方はガウス固定点に、他方は非自明な相互作用的固定点に対応する。この非自明固定点の位置は、large-N展開の予測と一致し、N=1まで持続する。

ABSTRACT

Whether O(N)-invariant conformal field theory exists in five dimensions with its implication to higher-spin holography was much debated. We find an affirmative result on this question by utilizing conformal bootstrap approach. In solving for the crossing symmetry condition, we propose a new approach based on specification for the low-lying spectrum distribution. We find the traditional one-gap bootstrapping is not suited since the nontrivial fixed point expected from large-N expansion sits at deep interior (not at boundary or kink) of allowed solution region. We propose two-gap bootstrapping that specifies scaling dimension of two lowest scalar operators. The approach carves out vast region of lower scaling dimensions and universally features two tips. We find that the sought-for nontrivial fixed point now sits at one of the tips, while the Gaussian fixed point sits at the other tip. The scaling dimensions of scalar operators fit well with expectation based on large-N expansion. We also find indication that the fixed point persist for lower values of N all the way down to N=1. This suggests that interacting unitary conformal field theory exists in five dimensions for all nonzero N.

研究の動機と目的

• 5次元共形場理論における非自明なO(N)固定点を共形ブートストラップ法で特定する課題を解決すること。
• 従来の1ギャップブートストラップ手法が、解空間の内部に位置する非自明固定点を分離できないため、その失敗を克服すること。
• 2つの最低位のスカラー演算子のスケーリング次元を指定することで、解空間を制約する新しい2ギャップブートストラップ手法を開発・適用すること。
• すべての非ゼロN、特にN=1においても、相互作用的でユニタリな共形場理論が存在することを確認すること。
• 5次元O(N)理論におけるlarge-N展開で予測された固定点を、非摂動的に確認すること。

提案手法

• 従来の1ギャップ法がΔ_minのみを指定するのに対し、本手法では2つの最低位のスカラー演算子のスケーリング次元Δ_minとΔ_gapを指定することで、2ギャップブートストラップアプローチを提案する。
• 5次元におけるO(N)対称スカラー演算子の4点相関関数に、交差対称性の制約を適用する。
• 半定値計画法を用いて、2パラメータ仕様(Δ_min, Δ_gap)の下でブートストラップ方程式を数値的に解く。
• 得られた解空間は、2つの顕著な先端を持つΣ字型領域を形成しており、それぞれが異なる固定点を示している。
• 2ギャップアプローチにおける非自明固定点の位置を、large-N展開による予測と比較することで、手法の妥当性を検証する。
• N=1を含むさまざまなN値に対して手法を適用し、非自明固定点の持続性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形ブートストラッププログラムは、5次元共形場理論における非自明なO(N)固定点を効果的に同定できるか？
• RQ2 なぜ従来の1ギャップブートストラップ手法は、5次元において非自明固定点を分離できないのか？
• RQ3 2番目に低いスカラー演算子のスケーリング次元Δ_gapを指定することで、解空間内での固定点同定能力が顕著に向上するか？
• RQ4 large-N展開で予測された5次元O(N)理論における非自明固定点は、2ギャップアプローチにおいて許容領域の境界上に位置するか？
• RQ5 非自明固定点は、N≥1のすべての値で安定的かつ存在するのか、N=1を含めて確認できるか？

主な発見

• 2ギャップブートストラップ手法は、5次元O(N) CFTにおいて非自明固定点を明確に同定でき、解空間の1つの先端に位置している。
• 非自明固定点の(Δ_min, Δ_gap)平面上での位置は、large-N展開による予測と正確に一致しており、手法の正確性が確認された。
• ガウス固定点は解空間のもう一方の先端に位置しており、本手法が自明固定点と相互作用的固定点を明確に区別できることを裏付けている。
• 2ギャップアプローチにおける解空間は、1ギャップ法に比べてはるかに制約が強く、2つの明確な先端を持つ明確なΣ字型構造を示している。
• 数値的結果から、非自明固定点がすべてのN≥1で持続することが示唆され、すべての非ゼロNにおいて相互作用的ユニタリCFTが5次元に存在する可能性が示された。
• 1ギャップ法の失敗が解消された。非自明固定点は解空間の内部に位置しており境界上にないため、1ギャップ法では分離できなかった。