[論文レビュー] Conformal Partial Waves: Further Mathematical Results

F.A. Dolan, H. Osborn|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 175

ひとこと要約

本稿では、CFTにおけるコンフォーマル部分波のさらなる数学的性質を導出し、メリン変換表現およびパrameter a, b, d をシフトする微分作用素に焦点を当てる。コンフォーマル部分波のメリン変換に対して明示的な多項式表現を提供し、スケール次元Δおよびスピンℓを変更するシフト作用素を同定する。d = 2, 4, 6 における既知の結果を回復し、d = 1, 3 および一般の偶数次元へと拡張する。

ABSTRACT

Further results for conformal partial waves for four point functions for conformal primary scalar fields in conformally invariant theories are obtained. They are defined as eigenfunctions of the differential Casimir operators for the conformal group acting on two variable functions subject to appropriate boundary conditions. As well as the scale dimension $Δ$ and spin $\ell$ the conformal partial waves depend on two parameters $a,b$ related to the dimensions of the operators in the four point function. Expressions for the Mellin transform of conformal partial waves are obtained in terms of polynomials of the Mellin transform variables given in terms of finite sums. Differential operators which change $a,b$ by $\pm 1$, shift the dimension $d$ by $\pm 2$ and also change $Δ,\ell$ are found. Previous results for $d=2,4,6$ are recovered. The trivial case of $d=1$ and also $d=3$ are also discussed. For $d=3$ formulae for the conformal partial waves in some restricted cases as a single variable integral representation based on the Bateman transform are found.

研究の動機と目的

• コンフォーマル場理論におけるコンフォーマル部分波のさらなる数学的性質を導出すること、特にそのメリン変換表現に焦点を当てる。
• パrameter a, b（演算子次元に関連）および時空次元 d をそれぞれ ±1 および ±2 ずつシフトする微分作用素を同定すること。
• d = 2, 4, 6 における以前の結果を回復し一般化し、d = 1 および d = 3 へと形式を拡張する。d = 3 については積分表現を含む。
• バーテン変換および超幾何関数を通じて、コンフォーマル部分波と対称多項式（特にジャック多項式およびゲンゲンバウアー多項式）との関係を確立すること。
• 再帰関係および x, x̄ 変数における直交多項式構造を用いた、コンフォーマル部分波を構成する体系的な枠組みを確立すること。

提案手法

• コンフォーマル群の2次カルタン作用素の固有関数としてコンフォーマル部分波を定義し、スケール次元Δおよびスピンℓによって決定される固有値を持つ。
• コンフォーマル不変量 u, v に関連する変数 x, x̄ を導入し、固有値方程式をハイパージェオメトリック関数の積を含む形に簡略化する。
• コンフォーマル部分波のメリン変換を、メリン変数における多項式の有限和として導出し、明示的な代数的計算を可能にする。
• Mellin空間における再帰関係を用いて、a → a±1, b → b±1, d → d±2 を同時にシフトし、Δおよびℓを変更する微分作用素を構成する。
• バーテン変換を用いて、d = 3 におけるコンフォーマル部分波の1変数積分表現を導出し、特に制限された場合に有効である。
• 解をジャック多項式で表現し、特に ε = 1/2（d = 2, 4 に対応）の場合に、それらがルジャンドル多項式に還元されることを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフォーマル部分波のメリン変換は、メリン変数における有限多項式としてどのように表現できるか？
• RQ2 同時にパrameter a, b, 時空次元 d をシフトし、Δおよびℓを変更する微分作用素は存在するか？
• RQ3 d = 1 および d = 3 の極限状態におけるコンフォーマル部分波の解の振る舞いはどのようにか？積分変換による表現は可能か？
• RQ4 コンフォーマル部分波とジャック多項式やゲンゲンバウアー多項式などの対称多項式との関係は何か？
• RQ5 先駆的ねじれ（leading twist）の場合（Δ = ℓ + d − 2）は、追加の2次微分作用素を用いて体系的に解けるか？

主な発見

• コンフォーマル部分波のメリン変換は、メリン変数における多項式の有限和として表現され、明示的な代数的表現が得られる。
• a → a±1, b → b±1, d → d±2 を同時にシフトし、Δおよびℓを変更する微分作用素が構成され、既知のシフト関係を一般化する。
• d = 3 では、バーテン変換を用いてコンフォーマル部分波が1変数積分表現として表現され、制限された場合に有効である。
• d = 2, 4, 6 における以前の表現が回復され一般化され、d = 4 は ε = 1 に対応し、d = 2 は ε = 1/2 に対応する。
• ε = 1/2 の場合、ジャック多項式展開を通じてコンフォーマル部分波がルジャンドル多項式に等価であることが示され、既知の結果と整合性が確認される。
• ジャック多項式を用いた形式は、解を体系的に構成する枠組みを提供する。λ₂ = ε − b − N または λ₂ = ε − a − N のとき、切断（truncate）が観察され、有限級数となる。