[論文レビュー] Conformal metrics on $R^{2m}$ with constant Q-curvature, prescribed volume and asymptotic behavior

Ali Hyder, Luca Martinazzi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{2m}$ 上の滑らかな共形計量が、定数 $Q$-曲率、所望の有限体積 $V$、および $|x|\to\infty$ の漸近的挙動が制御された共形因子 $u(x)$ をもつことを確立する。$\bar{Q} = (2m-1)!$ の場合、任意の $V < \mathrm{vol}(S^{2m})$ および任意の多項式 $P \in \mathcal{P}_m$（$x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ が無限遠で成り立つ）に対して解が存在する。驚くべきことに、$\bar{Q} = -(2m-1)!$ の場合、任意の $V > 0$ に対して解が存在し、正のと負の $Q$-曲率の間には根本的な挙動の違いが示された。

ABSTRACT

We study the solutions $u\in C^\infty(R^{2m})$ of the problem $(-Δ)^m u= Qe^{2mu}$, where $Q=\pm (2m-1)!$, and $V :=\int_{R^{2m}}e^{2mu}dx 1$. This corresponds to finding conformal metrics $g_u:=e^{2u}|dx|^2$ on $R^{2m}$ with constant Q-curvature $Q$ and finite volume $V$. Extending previous works of Chang-Chen, and Wei-Ye, we show that both the value $V$ and the asymptotic behavior of $u(x)$ as $|x| o \infty$ can be simultaneously prescribed, under certain restrictions. When $Q=(2m-1)!$ we need to assume $V

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^{2m}$ における $Q$-曲率方程式に関する先行研究を拡張し、体積 $V$ と $|x|\to\infty$ における共形因子 $u(x)$ の漸近的挙動を同時に規定することを目的とする。
• 体積が有限で、指定された多項式の減衰構造をもつ $(-\Delta)^m u = \bar{Q} e^{2mu}$ の非球面的解の存在を調査すること。ここで $\bar{Q} = \pm (2m-1)!$ である。
• 体積制約が存在理論に果たす役割を明確にすること。特に、$\bar{Q} > 0$ と $\bar{Q} < 0$ の場合に、体積制約が必要かどうかの違いを明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、Wei と Ye (2010) のアイデアを踏まえた固定点法を用いるが、爆発解析におけるコンパクト性結果から得られる事前評価を用いて、$m > 2$ の高階数に適応した。
• 多項式 $P$ のクラス $\mathcal{P}_m$ を、次数 $\leq 2m-2$ で $\lim_{|x|\to\infty} x\cdot\nabla P(x) = \infty$ を満たすものとして定義し、これにより $u(x)$ の正しい漸近的減衰が保証される。
• 解の成長を重み付きソボレフ空間で制御するため、Brézis–Merle の臨界推定と一般化されたバージョン（補題 A.2）を用いる。
• 重要な技術的道具は、多項式調和作用素の反転公式（補題 A.1）であり、これは $u$ の無限遠における挙動と原点近傍における挙動との関係を示す。
• 重み付き $L^p$-ソボレフ空間 $M_{2m,\delta}^p$ における事前評価を確立し、これにより無限遠での一様な減衰が得られ、Schauder の固定点定理の適用が可能になる。
• $\bar{Q} = -(2m-1)!$ の場合、体積上界が存在しないのは、爆発解析におけるコンパクト性障害が存在しないためであり、正の曲率の場合とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^{2m}$ 上の $Q$-曲率方程式に対して、体積 $V$ と共形因子 $u(x)$ の漸近的挙動を両方とも所望のものにできるか。
• RQ2 体積制約 $V < \mathrm{vol}(S^{2m})$ は、$\bar{Q} = (2m-1)!$ の存在理論においてなぜ必要となるのか。一方で、$\bar{Q} = -(2m-1)!$ の場合にはなぜその制約が存在しないのか。
• RQ3 多項式 $P(x)$ によって支配される $u(x)$ の漸近的プロファイルは、体積 $V$ とは独立に、どの程度まで自由に規定できるか。
• RQ4 高次元 $m > 1$ において、正の $Q$-曲率と負の $Q$-曲率の間で、$Q$-曲率方程式の幾何的・解析的性質はどのように異なるか。
• RQ5 無限遠で $x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ となる条件は、所望の漸近的展開をもつ解の存在にとって必要かつ十分であるか。

主な発見

• $\bar{Q} = (2m-1)!$ の場合、任意の $V \in (0, \mathrm{vol}(S^{2m}))$ および任意の $P \in \mathcal{P}_m$ に対して、$(-\Delta)^m u = (2m-1)! e^{2mu}$ の滑らかな解 $u$ が存在し、$|x|\to\infty$ で $u(x) = -\alpha \log|x| - P(x) + C + o(1)$ と表される。ここで $\alpha = 2V / \mathrm{vol}(S^{2m})$ である。
• 無限遠で $x\cdot\nabla P(x) \to \infty$ となる条件は、解の存在にとって不可欠であり、$P$ が十分に速く無限遠で増大することを保証し、所望の減衰をもつ解の構成を可能にする。
• $\bar{Q} = -(2m-1)!$ の場合、体積 $V$ を任意に大きくとることができ、任意の $V > 0$ および任意の $P \in \mathcal{P}_m$ に対して解が存在する。これは、正のと負の $Q$-曲率の間で解の構造に根本的な違いがあることを示している。
• $\mathcal{P}_m$ のクラスには、$\sum a_j x_j^{2i_j}$（$a_j > 0$, $i_j \in \{1,\dots,m-1\}$）および低次の項を含む多項式が含まれるが、より一般な多項式（単純な形に分解できないものも含む）も含まれる。
• 証明は、重み付きソボレフ空間 $M_{2m,\delta}^p$ における事前評価に依拠しており、これにより無限遠での一様な減衰が得られ、Schauder の固定点定理の適用が可能になる。
• $\bar{Q} = -(2m-1)!$ の場合、体積上界が存在しないのは、爆発解析においてコンパクト性障害が存在しないためであり、正の曲率の場合とは対照的である。