[論文レビュー] Conformal Net Realizability of Tambara-Yamagami Categories and Generalized Metaplectic Modular Categories

Marcel Bischoff|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 52被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、すべての偶数ランクのタマバラ–ヤマガミカテゴリが、 conformal nets の $ζ_2$-twisted 表現として実現されることを確立し、それらのドリンフェルト中心が格子 conformal nets の一般化された軌道空間として実現されることを示している。一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリは $ζ_2$-軌道空間として分類され、奇数位のアーベル群の一般化されたディードラル群の twisted double は、群的理論的一般化されたメタプレクティックカテゴリであることが示され、CFT における明示的な双対性および欠損構造が得られている。

ABSTRACT

We show that all isomorphism classes of even rank Tambara-Yamagami categories arise as $\mathbb{Z}_2$-twisted representations of conformal nets. As a consequence, we show that their Drinfel'd centers are realized by (generalized) orbifolds of conformal nets associated with (self-dual) lattices. The quantum double subfactors of even rank Tambara-Yamagami categories are Bisch-Haagerup subfactors and we describe their (dual) principal graphs. For every abelian group of odd order the Drinfel'd centers of the associated Tambara-Yamagami categories give a fusion ring generalizing the Verlinde ring $\mathrm{Spin}(2n+1)_2$ in the case of $\mathbb{Z}_{2n+1}$. We classify all generalized metaplectic modular categories, i.e. unitary modular tensor category with those fusion rules and show that they are realized as $\mathbb{Z}_2$-orbifolds of conformal nets associated with lattices. We further show that twisted doubles of generalized dihedral groups of abelian groups of odd order are group-theoretical generalized metaplectic modular categories and vice versa. We give some examples of twisted orbifolds of conformal nets and show how generalized metaplectic modular categories arise by condensation of simpler ones.

研究の動機と目的

• すべての偶数ランクタマバラ–ヤマガミカテゴリが $ζ_2$-twisted 表現として conformal nets に実現されることを確立する。
• これらのカテゴリのドリンフェルト中心が、自己双対格子に関連する conformal nets の一般化された軌道空間として実現されることを示す。
• 一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリを分類し、それらが格子 conformal nets の $ζ_2$-軌道空間から生じることを証明する。
• 奇数位のアーベル群の一般化されたディードラル群の twisted double が、群的理論的一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリであることを示し、逆も成り立つことを示す。
• これらのカテゴリから構成されたヘテロティック CFT における位相境界および双対性欠損を記述し、クライマー＝ヴァンナー双対性を一般化する。

提案手法

• 格子 conformal nets と群作用を用いて、conformal nets の $ζ_2$-twisted 表現を構成し、タマバラ–ヤマガミカテゴリを実現する。
• 偶数自己双対格子に関連するホロモーフィック conformal nets に対して一般化された軌道空間構成を適用し、ドリンフェルト中心を実現する。
• Q-システムと conformal nets 上の $ζ_2$-作用を用いて、固定点ネットを生成し、量子二重部分因子を実現する。
• 超群のキャラクター表と結合則を用いて、一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリおよびその欠損構造を分類する。
• $ζ_2$-軌道空間を介した CFT 間の欠損を分析し、インターツェプタ関係を通じて群的および双対性欠損を同定する。
• $α$-誘導とソリトンカテゴリを用いて、固定点ネットから融合カテゴリを再構成し、ドリンフェルト中心へのbraided同値を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての偶数ランクタマバラ–ヤマガミカテゴリが、conformal nets の $ζ_2$-twisted 表現として実現可能か？
• RQ2 奇数位の群をもつタマバラ–ヤマガミカテゴリのドリンフェルト中心は、格子 conformal nets の一般化された軌道空間として実現可能か？
• RQ3 一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリの完全な分類は何か？ そして、それらは conformal nets の軌道空間とどのように関係するか？
• RQ4 奇数位のアーベル群の一般化されたディードラル群の twisted double と、群的理論的一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリの関係は何か？
• RQ5 これらのカテゴリから構成されたヘテロティック CFT における位相境界および双対性欠損の構造は何か？ そして、それらはどのようにクライマー＝ヴァンナー双対性を一般化するか？

主な発見

• すべての偶数ランクタマバラ–ヤマガミカテゴリの同型類は、$ζ_2$-twisted 表現として conformal nets に実現され、それらの conformal net 実現性が確立された。
• 偶数ランクタマバラ–ヤマガミカテゴリのドリンフェルト中心は、自己双対格子に関連する conformal nets の一般化された軌道空間として実現された。
• 任意の奇数位のアーベル群 $G$ に対して、関連するタマバラ–ヤマガミカテゴリのドリンフェルト中心は、$G = \mathbb{Z}_{2n+1}$ の場合の Verlinde 環 $\mathop{\mathsf{Spin}}(2n+1)_2$ を一般化する結合環を与える。
• 一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリは完全に分類され、それらが格子に関連する conformal nets の $ζ_2$-軌道空間として実現されることを示した。
• 奇数位のアーベル群の一般化されたディードラル群の twisted double は、群的理論的一般化されたメタプレクティックモジュラーカテゴリである。逆も成り立ち、完全な双対性が確立された。
• ヘテロティック CFT $β_2 ̲ α_2 = α_L^{ζ_2} \otimes \bar{\alpha}_L$ の位相境界は、タマバラ–ヤマガミ超群 $K = G \cup \{\tau\}$ の元に対応し、群的および双対性欠損はキャラクター表の関係によって定義される。