[論文レビュー] Modular representation theory in type A via Soergel bimodules

Ben Elias, Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、GLnの有理的表現、量子群、および巡回的ヘッケ代数を含む型Aのモジュラー表現カテゴリにおける分解数が、ソルゲル・ビモジュールを通じてアフィンp-カジダン＝ルスティグ多項式によって符号化されることを確立する。正標数における図式的ソルゲルカテゴリにカテゴリー的カツ＝ムーディ作用を構成し、最高ウェイトカテゴリー化フォック空間の一意性を示すことにより、著者らはモジュラー表現理論とソルゲル理論的カテゴリを結びつけ、p-KL多項式が標準的およびティルティング加群における単純加群の重複度を計算することを示している。

ABSTRACT

In this paper we express certain multiplicities in modular representation-theoretic categories of type A in terms of affine p-Kazhdan-Lusztig polynomials. The representation-theoretic categories we deal with include the categories of rational representations of GL(n), representations of the quantum group for gl(n), and representations of (degenerate) cyclotomic Hecke and Schur algebras, where the base field is an algebraically closed field of arbitrary prime characteristic. In order to approach this problem we define Soergel-theoretic versions of parabolic categories O in characteristic p. We show that these categories have many common features with the classical parabolic categories O; for example, they are highest weight. We produce a homomorphism from a (finite or affine) type A 2-Kac-Moody category to the diagrammatic version of the category of singular Soergel bimodules (again, of finite or affine type A). This leads to a categorical Kac-Moody action on the Soergel-theoretic categories O. Then we relate the representation-theoretic categories to Soergel-theoretic ones by proving a uniqueness result for highest weight categorical actions on Fock spaces.

研究の動機と目的

• 正標数における型Aのモジュラー表現カテゴリとソルゲル・ビモジュールとの間の接続を確立すること。
• 特徴標数pにおける図式的ソルゲルカテゴリに、最高ウェイトかつカテゴリー的カツ＝ムーディ作用を持つ、パラボリックカテゴリOのソルゲル理論的類似を定義すること。
• 最高ウェイトカテゴリー化フォック空間のための一意性結果を証明し、表現論的カテゴリとソルゲル理論的カテゴリとの同定を可能にすること。
• 有理的GLn表現、量子群加群、および巡回的ヘッケ代数における分解数が、アフィンp-KL多項式の1における評価によって与えられることを示すこと。

提案手法

• 有限およびアフィン型Aにおける特異的ソルゲル・ビモジュールの図式的カテゴリを、フロベニウス構造および追加の関係を備えて構成する。
• 生成子と関係式（ドット、交差、カップ、キャップ、バブルを含む）を用いて、図式的ソルゲルカテゴリにカテゴリー的カツ＝ムーディ作用を定義する。
• 特徴標数pにおけるパラボリックカテゴリOのソルゲル理論的版を導入し、それが最高ウェイトかつ標準的ストラティファイドであることを示す。
• 最高ウェイトカテゴリー化フォック空間のための一意性定理を証明し、アフィンヘッケ代数のフォック空間の任意のこのようなカテゴリー化が、ソルゲル理論的ものと同型であることを示す。
• リングエル双対性および商関手を用いて、ソルゲル理論的カテゴリを古典的モジュラー表現カテゴリと関連付ける。
• ルオイエの同型性結果を適用し、巡回的シュール代数およびヘッケ代数のカテゴリを、ソルゲル理論的フォック空間の商カテゴリと同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における型Aのモジュラー表現カテゴリを、どのようにカテゴリー的に記述できるか？
• RQ2 ソルゲル・ビモジュールは、モジュラー表現理論における分解数を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 特徴標数pにおける図式的ソルゲルカテゴリにカテゴリー的カツ＝ムーディ作用を構成し、それがフォック空間をカテゴリー化できるか？
• RQ4 アフィンp-カジダン＝ルスティグ多項式は、有理的GLn表現や量子群加群などのカテゴリにおける分解数をどのように符号化するか？
• RQ5 与えられたモジュラー表現カテゴリと一致する唯一の最高ウェイトカテゴリー化フォック空間は存在するか？

主な発見

• 標数が素数である体上の有理的GLn表現のカテゴリにおける分解数は、アフィンp-カジダン＝ルスティグ多項式 P^p,J_{μ,λ}(1) を1で評価することによって与えられる。
• シュール代数Se,r_F(n)-modにおける標準的加群の単純加群の重複度は、軌道O_λ*とO_μ*が一致するとき P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1) に等しく、そうでないときは0である。
• 巡回的ヘッケ代数He,r_F(n)-modにおいて、同じ軌道条件のもとで、商加群が非零であれば、分解数は P^p,J_{α(μ*),α(λ*)}(1) に等しい。
• 多項式表現のカテゴリPolm,dは、m' > m に対してPolm',dの最高ウェイト商であるため、Rep(GLm)における重複度をOS_p,0におけるものに還元できる。
• ソルゲル理論的カテゴリO+e_F(J,n)は、∆+e(λ*)を∆S(λ)にマッピングする関手を通じてSe,r_F(n)-modと同型であり、K理論的クラスを保存する。
• カテゴリー化フォック空間構造の一意性により、アフィンヘッケ代数のフォック空間の任意の最高ウェイトカテゴリー化は、ソルゲル理論的ものと同型であることが保証され、これによりモジュラー表現カテゴリがソルゲル理論的カテゴリと同定される。