[論文レビュー] Conformally Invariant Variational Problems

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 62被引用数 28

ひとこと要約

本稿は2次元における共形不変な変分問題を調査し、調和写像、規定平均曲率曲面、ヤン・ミルズ場から生じる非線形偏微分方程式に焦点を当てる。共形ウィルモア埋め込みの重要な特徴付けを、滑らかな写像 $\vec{L}$ と複素関数 $f(z)$ が存在し、それらが複素微分系を満たすことで得られる。この特徴付けは、$\partial_z$-方程式と $\partial_{\bar z}$-整合性条件を通じて、共形幾何学と可積分系理論の深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

Conformal invariance plays a significant role in many areas of Physics, such as conformal field theory, renormalization theory, turbulence, general relativity. Naturally, it also plays an important role in geometry: theory of Riemannian surfaces, Weyl tensors, $Q$-curvature, Yang-Mills fields, etc... We shall be concerned with the study of conformal invariance in analysis. More precisely, we will focus on the study of nonlinear PDEs arising from conformally invariant two dimensional variational problems (e.g. harmonic maps, prescribed mean curvature surfaces, Willmore and Constrained conformal surfaces, isothermic surfaces). The present manuscript are lecture notes of courses given by the author at several places including UBC Vancouver, SNS Pisa, IHP Paris, ICTP Trieste.

研究の動機と目的

• 幾何学および数学的物理に現れる変分問題における共形不変性の役割を理解すること。
• 弱い設定におけるパラメトリックプレートウ問題を解くために、弱下界性が保証されない面積関数の代わりにエネルギー関数を用いることで強制性を確保すること。
• ポテンシャル $\vec{L}$ と正則関数 $f(z)$ を含む複素微分系を用いて、共形ウィルモア埋め込みを特徴付けること。
• ウィルモア方程式と、隠れた可積分構造を明らかにする複素偏微分方程式系との同値性を確立すること。

提案手法

• 弱下界性が保証されない面積関数 $A(u)$ の代わりに、強制性と弱下界性を満たすエネルギー関数 $E(u) = \frac{1}{2}\int_{D^2} |\partial_x u|^2 + |\partial_y u|^2 \, dx\wedge dy$ を用いる。
• 点ごとの不等式 $|\partial_x u \times \partial_y u| \leq \frac{1}{2}(|\partial_x u|^2 + |\partial_y u|^2)$ を用いて面積とエネルギーを関連付け、等号成立は $u$ が弱い共形写像である場合に限る。
• 共形因子 $\lambda$ と複素座標 $z = x_1 + i x_2$, $\bar z = x_1 - i x_2$ を導入し、幾何的量を正則的表現で表現する。
• 正規・接ベクトル分解を用いた複素微分幾何学的導出により、系 $\partial_z \vec{L} = e^{-\lambda} f \vec{e}_{\bar z} - 2i \langle \vec{H}, \vec{H}_0 \rangle \partial_{\bar z} \vec{\Phi} - 2i \pi_{\vec{n}}(\partial_z \vec{H})$ を得る。
• 正則性を保証するため $\partial_{\bar z} f = 0$ の条件を用い、この系を可積分系理論と結びつける。
• 逆方向の同値性チェーンと $\Im(\partial_{\bar z} \alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = \partial_z a$ を用いて、ウィルモア方程式と複素系との同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い設定におけるパラメトリックプレートウ問題を解くために、面積関数の強制性の欠如をどのように克服できるか？
• RQ2 複素微分方程式の観点から、共形ウィルモア埋め込みはどのように特徴付けられるか？
• RQ3 2次元における共形不変性は、変分問題にどのように可積分構造をもたらすか？
• RQ4 正則関数はウィルモア曲面の特徴付けにおいて果たす正確な役割は何か？
• RQ5 ウィルモア方程式は、ポテンシャル $\vec{L}$ と正則関数 $f(z)$ を含む複素系に再定式化可能か？

主な発見

• エネルギー関数 $E(u)$ は $W^{1,2}(D^2, \mathbb{R}^m)$ において強制的かつ弱下界性を満たし、面積関数とは異なり直接最小化が可能である。
• 面積 $A(u)$ はエネルギー $E(u)$ によって上から抑えられ、等号成立は $u$ が弱い共形写像である場合に限る。
• 共形ウィルモア埋め込みは、滑らかな写像 $\vec{L}$ と正則関数 $f(z)$ が存在し、$\partial_z(\vec{L} - 2i\vec{H}) = 2i|\vec{H}|^2 \partial_z \vec{\Phi} + [e^{-2\lambda}f(z) - 4i\langle \vec{H}, \vec{H}_0 \rangle] \partial_{\bar z} \vec{\Phi}$ を満たすことで特徴付けられる。
• この系は $\partial_{\bar z} f = 0$ と $\Delta_\perp \vec{H} + \tilde{A}(\vec{H}) - 2|\vec{H}|^2 \vec{H} = e^{-2\lambda} \Im(f \overline{\vec{H}_0})$ に簡略化され、平均曲率方程式の法線成分と接線成分が明確に分離される。
• $\Im(\partial_{\bar z} f \, \vec{e}_{\bar z}) = 0$ は $\partial_{\bar z} f = 0$ と同値であり、正則性を保証し、この系を複素解析と結びつける。
• 逆方向の同値性チェーンを用いて、ウィルモア方程式と複素系との同値性が証明され、共形ウィルモア埋め込みの完全な特徴付けが確立された。