[論文レビュー] Conformally Kähler geometry and quasi-Einstein metrics

Wafaâ Batat, Stuart James Hall+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ファノ・カラビ・エインシュタイン多様体上の $\mathbb{C}P^{1}$-バンドルに於いてル、ペイジ、ポープが構成した準アインシュタイン計量が、共形的ケーラー的であることを確立し、共形的ケーラー類が第一チャーン類に比例することを示している。トーリック幾何学とアブレー＝ギヨミニフレームワークを用いて、著者らは一様な構成法を提供し、$\mathbb{C}P^{2}\sharp\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上のペイジ、コイソ＝ソウ、およびル＝ペイジ＝ポープ計量を同時に得ている。また、$\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上の類似計量の可能性について明示的な制約を導出し、チェン＝レブン＝ウェーバー計量がそのような族の滑らかな極限でないことを示している。

ABSTRACT

We prove that the quasi-Einstein metrics found by Lü, Page and Pope on $\mathbb{C}P^{1}$-bundles over Fano Kähler-Einstein bases are conformally Kähler and that the Kähler class of the conformal metric is a multiple of the first Chern class. A detailed study of the lowest-dimensional example of such metrics on $\mathbb{C}P^{2}\sharp \overline{\mathbb{C}P}^{2}$ using the methods developed by Abreu and Guillemin for studying toric Kähler metrics is given. Our methods yield, in a unified framework, proofs of the existence of the Page, Koiso-Cao and Lü-Page-Pope metrics on $\mathbb{C}P^{2}\sharp \overline{\mathbb{C}P}^{2}$. Finally, we investigate the properties that similar quasi-Einstein metrics would have if they also exist on the toric surface $\mathbb{C}P^{2}\sharp 2 \overline{\mathbb{C}P}^{2}$.

研究の動機と目的

• Fano カラビ・エインシュタイン基底上の $\mathbb{C}P^{1}$-バンドルに於いてル、ペイジ、ポープが構成した準アインシュタイン計量が共形的ケーラー的であることを確立すること。
• 共形計量のケーラー類が第一チャーン類の倍数であることを示し、これらの計量を標準的ケーラー幾何学と結びつけること。
• トーリックケーラー幾何学的手法を用いて、$\mathbb{C}P^{2}\sharp\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上のペイジ、コイソ＝ソウ、およびル＝ペイジ＝ポープ計量の構成を統一すること。
• $\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上の共形的ケーラー的準アインシュタイン計量の存在と性質を調査し、それらのポテンシャル関数が満たすべき制約を明らかにすること。
• チェン＝レブン＝ウェーバーのアインシュタイン計量が、$\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上の仮想の共形的ケーラー的準アインシュタイン族の滑らかな極限でないことを排除すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathbb{C}P^{2}\sharp\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上のトーリックケーラー計量を記述するためのアブレー＝ギヨミニフレームワークを用い、ケーラー潜在関数と計量をモーメント多面体上の凸関数で明示的にパrameter化できるようにしている。
• 彼らはキム＝キムの第一積分と境界条件を適用し、準アインシュタイン計量の潜在関数 $\phi$ のパrameterを制約する方程式系を導出している。
• 共形因子は、結果として得られる計量が、$\mathrm{Ric}(g) + \nabla^2\phi - \frac{1}{m}d\phi \otimes d\phi = \lambda g$ を満たすとともに、共形スケーリングまででケーラー構造を保つように構成されている。
• $\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ の場合、キム＝キムの第一積分と積分制約から、$b,c,d,\mu$ の4つの未知数に関する4つの方程式が導かれる。ここではケーラー計量 $g_K$ と関数 $\mathcal{F} = \phi - 2\sigma$ を用いている。
• 数値評価を用いて $a=2$, $m=2$ の場合の系を解き、$b \approx -0.0744357$, $c \approx 1.00482$, $d \approx -0.463585$, および $\mu \approx 0.282617$ の一意な適切な解が得られた。
• $m \to \infty$ の極限挙動を分析し、チェン＝レブン＝ウェーバー計量が、導出された制約と整合しないことから、そのような族の滑らかな極限にはなり得ないことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano カラビ・エインシュタイン基底上の $\mathbb{C}P^{1}$-バンドルに於いてル＝ペイジ＝ポープが構成した準アインシュタイン計量は共形的ケーラー的であるか？ もしそうなら、共形的ケーラー類は第一チャーン類に比例するか？
• RQ2 トーリックケーラー幾何学的手法を用いて、$\mathbb{C}P^{2}\sharp\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上のペイジ、コイソ＝ソウ、およびル＝ペイジ＝ポープ計量を統一的に構成できるか？
• RQ3 $\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上に共形的ケーラー的準アインシュタイン計量が存在するか？ そのポテンシャル関数が満たすべき制約は何か？
• RQ4 チェン＝レブン＝ウェーバーのアインシュタイン計量は、$\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上の仮想の共形的ケーラー的準アインシュタイン族の滑らかな極限であるか？
• RQ5 共形的ケーラー的準アインシュタイン計量は、極値ケーラー幾何学およびカラビ・エネルギー最小化の観点から、どのような意味を持つのか？

主な発見

• Fano カラビ・エインシュタイン基底上の $\mathbb{C}P^{1}$-バンドルに於いてル＝ペイジ＝ポープが構成した準アインシュタイン計量は、共形的ケーラー的であり、共形的ケーラー類は第一チャーン類の倍数である。
• トーリック幾何学的手法とアブレー＝ギヨミニフレームワークを用いることで、$\mathbb{C}P^{2}\sharp\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上のペイジ、コイソ＝ソウ、およびル＝ペイジ＝ポープ計量が、一様な構成法によって統一的に得られている。
• $a=2$ および $m=2$ の場合、キム＝キムの第一積分と積分制約から得られる方程式系は、一意な適切な解 $b \approx -0.0744357$, $c \approx 1.00482$, $d \approx -0.463585$, $\mu \approx 0.282617$ を持つ。
• チェン＝レブン＝ウェーバー計量は、$\mathbb{C}P^{2}\sharp 2\overline{\mathbb{C}P}^{2}$ 上の共形的ケーラー的準アインシュタイン族の滑らかな極限にはなり得ない。これは、必要なパrameter値が導出された制約と整合しないからである。
• 共形因子は、準アインシュタイン方程式を満たすとともに、スケーリングまででケーラー構造を保つように設計されており、ポテンシャル関数 $\phi$ はアブレー＝ギヨミニ形式主義によって明示的に制約されている。
• 積分制約 $\int_P (e^{-\phi} - \mu e^{(\frac{2}{m}-1)\phi}) e^{4\sigma} dx = 0$ は、$\Delta_{\mathcal{F}}$-ラプラシアン恒等式から導出され、準アインシュタイン条件との整合性に不可欠である。