[論文レビュー] Conjugacy growth series of some wreath products

Valentin Mercier|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$L$ が木構造のケーリー図を持つ場合の wreath 積 $G\wr\mathbb{Z}$ および $G\wr(C_2*C_2)$ の共役成長級数の明示的公式を導出する。共役成長級数の収束半径が標準成長級数のそれと等しいことを確立し、ラムプライト群 $C_2\wr\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Q}(z)$ 上で超越的であることを示し、漸近的成長率の等価性を確認する。

ABSTRACT

In this paper we consider groups of the form $G\wr L$, where the set of generators naturally extends the sets of generators of $G$ and $L$, and $L$ admits a Cayley graph that is a tree. We show how one can compute the conjugacy growth series of such groups in terms of the standard and conjugacy growth series of $G$. We then provide explicit formulas for groups of the form $G\wr \mathbb{Z}$ and $G\wr (C_2*C_2)$. We also prove that the radius of convergence of the conjugacy growth series of $G\wr L$, for any $G$ and $L$ as above, is the same as the radius of convergence of its standard growth series.

研究の動機と目的

• $L$ がケーリー図として木を持つ wreath 積 $G\wr L$ の共役成長級数を計算すること。
• 共役成長級数と $G$ および $L$ の標準成長級数との間の関係を確立すること。
• $G\wr\mathbb{Z}$ および $G\wr(C_2*C_2)$ に対して明示的公式を提供すること。
• $G\wr L$ における共役類の漸近的挙動を分析すること、特にラムプライト群について。
• このような wreath 積において、共役成長級数の収束半径が標準成長級数のそれと一致することを確認すること。

提案手法

• $L$ のケーリー図が木構造である wreath 積における最小長共役代表元の構造を利用する。
• Matveev (1966) の共役基準を用い、$L$ 内の「カーソル」位置によって共役類を分類する。
• 生成関数技法と形式的べき級数を用いて、共役成長を $G$ の標準成長級数で表す。
• Parlier (1992) が $L$ のケーリー図が木である場合の $G\wr L$ の標準成長級数について得た結果を活用する。
• $L$ 内のカーソル位置が自明、有限位数、無限位数の三つに分け、共役成長級数をそれぞれの寄与に分解する。
• $L$ が原点を含む有限部分木に作用する左作用の軌道を数えるために、モービウスの反転公式とオイラーのトーティエント関数 $\phi(r)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L$ がケーリー図として木を持つ場合、$G\wr L$ の共役成長級数はどのように計算できるか？
• RQ2 共役成長級数の収束半径と $G\wr L$ の標準成長級数との関係は何か？
• RQ3 $G\wr\mathbb{Z}$ および $G\wr(C_2*C_2)$ の共役成長級数に対して明示的公式を導出できるか？
• RQ4 ラムプライト群 $C_2\wr\mathbb{Z}$ の共役成長級数は $\mathbb{Q}(z)$ 上で超越的か？
• RQ5 $G\wr L$ における共役類の漸近的成長は、$G$ および $L$ のそれとどのように比較できるか？

主な発見

• $G\wr\mathbb{Z}$ の共役成長級数は、$\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z)$、$\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z^2)$、および $\phi(r)/r$ 項の和を含む公式で与えられる。
• $G\wr(C_2*C_2)$ の共役成長級数は、三つの成分の和として表現される：$\phi(r)/r$ と $\sigma_{(G,Y)}(z^r)^{2s}$ を含む項、$z$ に比例する項、対称的部分木からの寄与を含む項。
• $C_2\wr\mathbb{Z}$ における共役類の数の漸近的成長は、$[z^m]\tilde{\sigma}_{(C_2\wr\mathbb{Z},\vec{Y})}(z) \sim \frac{2}{m}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^m$ を満たし、指数的成長を示す。
• $C_2\wr\mathbb{Z}$ の共役成長級数は、漸近的推定と Flajolet (1987) の結果を用いて、$\mathbb{Q}(z)$ 上で超越的であることが示された。
• $G\wr L$ の共役成長級数の収束半径は、すべての $G$ および $L$ に対して、ケーリー図が木構造である場合、標準成長級数のそれと等しい。
• $G\wr L$ の共役成長級数は、自明、有限位数、無限位数のカーソル位置からの寄与に分解され、それぞれが $L$ の左作用の下での軌道数え上げによって処理される。