[論文レビュー] Connes-Chern character for manifolds with boundary and eta cochains

Matthias Lesch, Henri Moscovici+1 more|Dec 1, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、相対的循環コホモロジーを用いて境界を持つ多様体上のディラク作用素のコンネス＝チェーン特徴類を構成し、エータ・コチェーンとスケーリングパラメータを介して境界情報を統合する。再び収縮されたコチェーンが境界に関する幾何的データを捉えていることを示し、ゲッツラー＝ウーのペアリングがほぼ平坦なバンドルに制限されることを証明する。

ABSTRACT

We express the Connes-Chern character of the Dirac operator associated to a b-metric on a manifold with boundary in terms of a retracted cocycle in relative cyclic cohomology, whose expression depends on a scaling/cut-off pa- rameter. Blowing-up the metric one recovers the pair of characteristic currents that represent the corresponding de Rham relative homology class, while the blow-down yields a relative cocycle whose expression involves higher eta cochains and their b-analogues. The corresponding pairing formulae with relative K-theory classes capture information about the boundary and allow to derive geometric consequences. As a by-product, we show that the generalized Atiyah-Patodi-Singer pairing introduced by Getzler and Wu is necessarily restricted to almost flat bundles.

研究の動機と目的

• 境界を持つ多様体上の基本的K-ホモロジー類のコンネス＝チェーン特徴類のコホモロジー的表現を、境界に関する幾何的情報を反映させるものとして提供すること。
• 整級循環コホモロジーの制限を克服するため、対$({\mathcal{C}}^\infty(M), {\mathcal{C}}^\infty(\partial M))$に対して、相対的循環コホモロジー内に直接的にコチェーン代表元を構成すること。
• 整級から周期的コンネス＝チェーン特徴類への再び収縮手続きを実装し、高次のエータ・コチェーンおよびそのb-類似物を含む相対的コチェーンを得ること。
• このコチェーンと相対的K理論的類のペアリングから得られる幾何的帰結、特に境界不変量に関しての考察。
• ゲッツラーとウーが導入した一般化されたアティヤ＝パトディ＝サージャーのペアリングが、必然的にほぼ平坦なバンドルに制限されることを示すこと。

提案手法

• 【ConMos:TCC】の再び収縮手続きを相対的循環コホモロジーに適応し、整級コンネス＝チェーン特徴類を周期的ものに変換する。
• メルローズのb-微分積分法の枠組みを用いて、境界付き多様体上のb-計量に付随するディラク作用素を分析する。
• スケーリング／カットオフパラメータに依存するコチェーンを相対的循環コホモロジーに構成し、コンネス＝チェーン特徴類を表す。
• 計量を拡大して、de Rhamの相対ホモロジー類を表す特徴的カレントのペアを回復する。
• 計量を縮小して、高次のエータ・コチェーンおよびそのb-類似物を含む相対的コチェーンを得る。
• 得られたコチェーンと相対的K理論的類とのペアリングを適用し、境界に関する幾何的情報を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き多様体上のディラク作用素のコンネス＝チェーン特徴類を、境界の幾何を反映させる相対的循環コホモロジーの観点からどのように表現できるか？
• RQ2 スケーリング／カットオフパラメータは、境界不変量を捉える再び収縮されたコチェーンを構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 計量のブロー・アップおよびブロー・ダウンの極限は、de Rham類およびエータ・コチェーン構造とどのように関係するか？
• RQ4 相対的コチェーンと相対的K理論的類のペアリングに、どのような幾何的情報が符号化されているか？
• RQ5 一般化されたアティヤ＝パトディ＝サージャーのペアリングがなぜ必然的にほぼ平坦なバンドルに制限されるのか、そしてこの性質がコチェーン構成からどのように導かれるか？

主な発見

• 境界付き多様体上のディラク作用素のコンネス＝チェーン特徴類は、スケーリング／カットオフパラメータに依存する再び収縮されたコチェーンとして相対的循環コホモロジーに実現される。
• 計量のブロー・アップ極限により、de Rhamの相対ホモロジー類を表す特徴的カレントのペアが回復される。
• 計量のブロー・ダウン極限により、高次のエータ・コチェーンおよびそのb-類似物を含む相対的コチェーンが得られる。
• このコチェーンと相対的K理論的類のペアリングは、特にエータ不変量に関連する境界に関する幾何的情報を捉えている。
• この構成により、ゲッツラーとウーが導入した一般化されたアティヤ＝パトディ＝サージャーのペアリングが、必然的にほぼ平坦なバンドルに制限されることを証明した。
• 相対的循環コホモロジーの枠組みは、整級循環コホモロジーの有限次元設定における制限を克服し、境界の幾何をコンネス＝チェーン特徴類に効果的に符号化できた。