[論文レビュー] Conservation Laws on Riemann-Cartan, Lorentzian and Teleparallel Spacetimes

Waldyr A. Rodrigues, Q. A. G. de Souza+1 more|ArXiv.org|May 3, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 53被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リーマン＝カルタン、ローレンツ型、およびトランスパラレル時空におけるエネルギー運動量および角運動量の保存則を、クリフォード bundle 形式を用いて分析する。真の保存則が物質場のみに対して成立するためには、計量およびねじれテンソルを保存するキリングベクトル場が必要であり、トランスパラレル重力理論においては、宇宙定数が非ゼロである場合に、物質および重力場の両方のエネルギー運動量に対する明確に定義された保存則が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper using a Clifford bundle formalism we examine (a): the strong conditions for existence of conservation laws involving only the energy-momentum and angular momentum of the matter fields on a general Riemann-Cartan spacetime and also in the particular cases of Lorentzian and teleparallel spacetimes and (b): the conditions for the existence of conservation laws of energy-momentum and angular momentum for the matter and gravitational fields when this latter concept can be rigorously defined. We examine in details some misleading and even erroneous and often quoted statements concerning the issues of the conservation laws in General Relativity and Riemann-Cartan (including the particular case of the teleparallel one) theories.

研究の動機と目的

• リーマン＝カルタン時空において、真のエネルギー運動量および角運動量保存則が成立する条件を明確化すること。
• 一般相対性理論およびそのトランスパラレル等価理論における保存則が、真に保存されているのか、あるいは単なる共変恒等式であるのかを調査すること。
• トランスパラレル重力理論において、重力場のエネルギー運動量が厳密に定義され、保存可能となる条件を特定すること。
• トランスパラレル重力理論におけるエネルギー運動量保存則に関する矛盾する主張を、厳密なクリフォード bundle 形式を用いて解消すること。
• 微分形式およびスピン系構造を用いた、異なる重力理論における保存則を統一的に分析するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 任意の計量および接続を持つ時空多様体上での微分形式、スピン系、接続を表現するためのクリフォード bundle 形式を用いる。
• ラグランジアン密度から導かれる関数的微分およびオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、保存則を導出する。
• 微分同相変換不変性および局所ローレンツ不変性の概念を適用し、『共変』保存恒等式を導出する。
• 計量およびねじれテンソルの両方を保存するキリングベクトル場の概念を導入し、真の保存則のための必要条件とする。
• シュワルツシルト時空、デ de Sitter 時空、フレリッドマン時空といった特定の時空を、トランスパラレル重力理論において分析し、保存量の存在を検証する。
• 正規直交基底におけるキリングベクトル場の明示的計算と、ねじれテンソルとの整合性を検証することで、条件を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝カルタン時空において、物質場のエネルギー運動量および角運動量の真の保存則が成立する条件は何か？
• RQ2 なぜトランスパラレル重力理論におけるキリングベクトル場は、一般相対性理論とは異なり、物質場のみの保存則を保証しないのか？
• RQ3 一般相対性理論のトランスパラレル等価理論において、重力場のエネルギー運動量を厳密に定義し、保存可能か？
• RQ4 宇宙定数は、トランスパラレル重力理論における全エネルギー運動量保存則を可能にする役割を果たすのか？
• RQ5 正規直交基底の構造係数は、トランスパラレル時空における保存量の存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• リーマン＝カルタン時空において、物質場のエネルギー運動量および角運動量の真の保存則は、計量およびねじれテンソルの両方を保存するキリングベクトル場を必要とする。
• トランスパラレル重力理論においては、デ de Sitter 時空では10個のキリングベクトル場のうち、r < √α および r > √α の両領域で7番目のキリングベクトル場のみが保存のための必要条件を満たすが、他の9つは満たさない。
• フレリッドマン時空では、10個すべてのキリングベクトル場が保存のための条件を満たしており、この場合においてエネルギー運動量保存則の整合的フレームワークが成立している。
• 一般相対性理論のトランスパラレル等価理論では、宇宙定数が非ゼロである場合に、物質および重力場の全エネルギー運動量に対する明確に定義された真の保存則が存在する。
• 本論文は、トランスパラレル重力理論において、重力場のエネルギー運動量テンソルが明確に定義された対象であることを確認し、標準的一般相対性理論に存在しない全保存則を可能にしている。
• クリフォード bundle 形式は、異なる重力理論における共変恒等式と真の保存則の区別を一貫的かつ厳密に可能にするフレームワークを提供する。