[論文レビュー] Constant scalar curvature equation and the regularity of its weak solution

Weiyong He, Yu Zeng|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなケーラー多様体上で、計量が $L^\infty$ のとき、定スカラー曲率ケーラー（CSCK）方程式の弱解の滑らかさを、$L^\infty$ ケーラー計量上のラプラシアンに対する $W^{2,2}$ 正則性理論の新規な結果を用いて確立する。主な貢献は、$K$-エネルギーの $C^{1,\bar{1}}$ 最小化子が滑らかな CSCK 計量であることを証明し、Chen の予想の一部を確認することにある。

ABSTRACT

In this paper we study constant scalar curvature equation (CSCK), a nonlinear fourth order elliptic equation, and its weak solutions on Kähler manifolds. We first define a notion of weak solution of CSCK for an $L^\infty$ Kähler metric. The main result is to show that such a weak solution (with uniform $L^\infty$ bound) is smooth. As an application, this answers in part a conjecture of Chen regarding the regularity of $K$-energy minimizers. The new technical ingredient is a $W^{2, 2}$ regularity result for the Laplacian equation $Δ_g u=f$ on Kähler manifolds, where the metric has only $L^\infty$ coefficients. It is well-known that such a $W^{2, 2}$ regularity ($W^{2, p}$ regularity for any $p>1$) fails in general (except for dimension two) for uniform elliptic equations of the form $a^{ij}\partial^2_{ij}u=f$ for $a^{ij}\in L^\infty$, without certain smallness assumptions on the local oscillation of $a^{ij}$. We observe that the Kähler condition plays an essential role to obtain a $W^{2, 2}$ regularity for elliptic equations with only $L^\infty$ elliptic coefficients on compact manifolds.

研究の動機と目的

• $L^\infty$ ケーラー計量に対する定スカラー曲率ケーラー（CSCK）方程式の弱解を定義し、それらを研究すること。
• 一様な $L^\infty$ 範囲がある限り、そのような弱解の正則性を確立し、滑らかであることを証明すること。
• Chen が提起した予想、すなわち $K$-エネルギーの $C^{1,\bar{1}}$ 最小化子は滑らかな CSCK 計量である、という予想に応えること。
• コンパクトなケーラー多様体上で、$L^\infty$ 係数を持つラプラシアン $\Delta_g u = f$ の $W^{2,2}$ 正則性理論を構築すること。これは一般の非ケーラー楕円型方程式では成立しない。
• 正則性結果を修正 $K$-エネルギーおよび極値計量へと拡張し、不変性の仮定の下で最小化子の滑らかさを証明すること。

提案手法

• $L^\infty$ ケーラー計量上での CSCK 方程式に対する $\Delta$-弱解の概念を導入する。
• コンパクトなケーラー多様体上で、計量 $g$ が $L^\infty$ 係数のみをもつ場合に、$\Delta_g u = f$ の $W^{2,2}$ 正則性結果を確立する。ケーラー構造を活用することで、標準的な $W^{2,p}$ 評価が失敗するのを補う。
• $W^{2,2}$ 正則性を用いて、CSCK 方程式の $L^\infty$ な弱解が $W^{2,2}$ に属し、したがって Hölder 継続的であることを示し、より高い正則性を示す。
• $K$-エネルギー最小化子に正則性理論を適用する。$C^{1,\bar{1}}$ ポテンシャルが弱 CSCK 方程式を満たすならば、それが滑らかであることを示す。
• 修正 $K$-エネルギーの場合にこの議論を拡張する。$L^\infty$ で不変な修正 $K$-エネルギーの最小化子が滑らかな極値計量であることを証明する。
• ねじれ CSCK 方程式に対する事前評価を用い、大きな定数 $A$ を用いた最大原理の議論により、体積形式の一様な下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量が $L^\infty$ のみであるとき、定スカラー曲率ケーラー方程式の弱解が滑らかであることを示すことができるか？
• RQ2 Chen が提起した予想、すなわち $K$-エネルギーの $C^{1,\bar{1}}$ クラスの最小化子は滑らかな代表元をもつ、という予想は正しいか？
• RQ3 一般の楕円型理論では失敗するにもかかわらず、$L^\infty$ ケーラー計量上でのラプラシアンの $W^{2,2}$ 正則性を確立できるか？
• RQ4 この $W^{2,2}$ 正則性結果はケーラー条件に依存しており、実楕円型理論とはどのように異なるか？
• RQ5 修正 $K$-エネルギーを用いて、正則性結果を極値計量へと拡張できるか？

主な発見

• $L^\infty$ ケーラー計量上で、$\Delta$-弱解として定義された CSCK 方程式の解は、一様有界な場合に滑らかであることが示された。
• コンパクト多様体上で $L^\infty$ ケーラー計量に対して、ラプラシアン $\Delta_g u = f$ の $W^{2,2}$ 正則性が確立された。これは一般の非ケーラー楕円型方程式では成立しない結果である。
• $C^{1,\bar{1}}$ クラスにおける $K$-エネルギー最小化子が滑らかな CSCK 計量であることが証明され、Chen の予想の一部が確認された。
• 正則性結果は修正 $K$-エネルギーへと拡張され、$L^\infty$ で不変な修正 $K$-エネルギーの最小化子が滑らかな極値計量であることが示された。
• ねじれ CSCK 方程式に対する事前評価を、大きな定数 $A$ を用いた最大原理の議論により確立し、体積形式の一様な下界を得た。
• $W^{2,2}$ 正則性および解の Hölder 継続性により、より高階の正則性が導かれ、計量の完全な滑らかさが得られた。