[論文レビュー] Constructing a quantum field theory from spacetime

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、小規模な $\mathbb{R}^{4}$ 上の特異な滑らかさ構造を、3次元球面 $S^3$ のcodimension-1フォリエーションに結びつけることで、時空幾何から量子場理論（QFT）を構成する。非可換幾何を用いてフォリエーションの葉の空間から超有限な $\mathrm{II}_1$ フォンノイマン代数が得られ、Turaev-Drinfeld の変形量子化により、 genus $g>1$ の曲面上のホロノミー関数のポアソン代数を量子化すると、QFT の観測代数と同型な $\mathrm{II}_1$ 因子が得られる。この結果、絡み目と絡み目の同調が、量子状態および演算子として解釈される。

ABSTRACT

The paper shows deep connections between exotic smoothings of a small R^4 (the spacetime), the leaf space of codimension-1 foliations (related to noncommutative algebras) and quantization. At first we relate a small exotic R^4 to codimension-1 foliations of the 3-sphere unique up to foliated cobordisms and characterized by the real-valued Godbillon-Vey invariant. Special care is taken for the integer case which is related to flat PSL(2,R)-$bundles. Then we discuss the leaf space of the foliation using noncommutative geometry. This leaf space contains the hyperfinite III_1 factor of Araki and Woods important for quantum field theory (QFT) and the I_{\infty} factor. Using Tomitas modular theory, one obtains a relation to a factor II_{\infty} algebra given by the horocycle foliation of the unit tangent bundle of a surface S of genus g>1. The relation to the exotic R^4 is used to construct the (classical) observable algebra as Poisson algebra of functions over the character variety of representations of the fundamental group π_{1}(S) into the SL(2,C). The Turaev-Drinfeld quantization (as deformation quantization) of this Poisson algebra is a (complex) skein algebra which is isomorphic to the hyperfinite factor II_{1} algebra determining the factor II_{\infty}=II_{1}\otimes I_{\infty} algebra of the horocycle foliation. Therefore our geometrically motivated hyperfinite III_1 factor algebra comes from the quantization of a Poisson algebra. Finally we discuss the states and operators to be knots and knot concordances, respectively.

研究の動機と目的

• 従来の古典的場からの量子化を回避して、時空幾何から量子場理論（QFT）を幾何的に構成すること。
• 特異な $\mathbb{R}^{4}$ の明示的な座標表現の欠如を、Godbillon-Vey 不変量を介した $S^3$ のcodimension-1フォリエーションへの接続によって解決すること。
• 非可換幾何とTomita-Takesaki理論を用いて、QFTの観測代数を超有限な $\mathrm{II}_1$ 因子として実現すること。
• ホロノミー表現の幾何学的量子化を通じて、絡み目と絡み目の同調を、量子状態および演算子として解釈すること。

提案手法

• 小規模な特異な $\mathbb{R}^{4}$ の径方向族（$t \in [0,1)$ でパrameter化）を用い、1パラメータ族のCassonハンドルおよびキャップドグロープを定義する。
• キャップドグロープ設計の境界から、$PSL(2,\mathbb{R})$-不変な双曲的多角形 $P$ をモデルとして用い、3次元球面 $S^3$ 上にcodimension-1フォリエーションを構成する。
• フォリエーションのGodbillon-Vey不変量を $GV = r^2$ と特定し、$r = 1/(1-t)$ を特異な $\mathbb{R}^{4}$ の径方向座標として、コボルディズム不変量とする。
• フォリエーションの葉の空間に非可換幾何を適用し、ArakiとWoodsの超有限 $\mathrm{II}_1$ 因子と同型なフォンノイマン代数を導出する。
• 曲面 $S$（genus $g>1$）に対して、$\mathrm{Hom}(\pi_1(S), SL(2,\mathbb{C}))$ 上の関数のポアソン代数として古典的観測代数を定義する。
• このポアソン代数に対してTuraev-Drinfeldの変形量子化を施し、$\mathrm{II}_1$ 因子と同型な複素スケイン代数を構成し、量子観測代数を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異な滑らかさ構造を持つ $\mathbb{R}^{4}$ を用いて、標準的量子化に依存せずに量子場理論を構築できるか？
• RQ2 小規模な特異な $\mathbb{R}^{4}$ と $S^3$ のcodimension-1フォリエーションとの間の正確な幾何学的・位相的関係は何か？
• RQ3 フォリエーションのGodbillon-Vey不変量が、特異な $\mathbb{R}^{4}$ の滑らかさ構造にどのような情報を含んでいるか？
• RQ4 特異な滑らかさから構成されたフォリエーションの葉の空間から、QFTの観測代数が自然に得られるか？
• RQ5 この幾何学的量子化枠組みにおいて、絡み目理論を通じて量子状態および演算子に物理的解釈を与えることは可能か？

主な発見

• 各小規模な特異な $\mathbb{R}^{4}$ は、フォリエーションのコボルディズムに関して一意的な $S^3$ のcodimension-1フォリエーションに対応し、$GV = r^2 = (1/(1-t))^2$ で与えられるGodbillon-Vey不変量が、微分同相でない構造を区別する。
• フォリエーションの葉の空間から非可換幾何を適用すると、超有限な $\mathrm{II}_1$ 因子代数が得られ、これは局所代数アプローチにおけるQFTの観測代数と同型である。
• 古典的観測代数は、genus $g>1$ の曲面 $S$ に対して、$\mathrm{Hom}(\pi_1(S), SL(2,\mathbb{C}))$ 上の関数のポアソン代数として実現される。
• このポアソン代数に対するTuraev-Drinfeldの変形量子化により、$\mathrm{II}_1$ 因子と同型な複素スケイン代数が得られ、量子観測代数が確認される。
• 得られた $\mathrm{II}_\infty$ 因子代数は、$\mathrm{II}_1 \otimes I_\infty$ と同型であり、曲面 $S$ の単位接 bundle のホロサイクルフォリエーションから生じる。
• 量子状態は絡み目として解釈され、演算子は絡み目の同調として解釈され、幾何的構成が量子過程の位相的実現を提供する。