[論文レビュー] Construction of a Kaluza-Klein type Theory from One Dimension

D. J. Jackson|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、実数直線として表される1次元時間から唯一導かれる、Kaluza-Klein型の統一枠組みを提案する。時間間隔の算術的分解を分析することで、4次元時空多様体と内部ゲージ対称性を生じさせる多次元対称性を導出し、主 bundle 上の幾何学的構造を通じて外部重力と内部ゲージ曲率を統一する。同時に、二重の対称性の破れメカニズムにより Coleman-Mandula の定理と整合性を保つ。

ABSTRACT

We describe how a physical theory incorporating the properties of fields deriving from extra-dimensional structures over a four-dimensional spacetime manifold can in principle be obtained through the analysis of a simple initial structure consisting of the one dimension of time alone, as represented by the real line. The simplicity of this starting point leads to symmetries of multi-dimensional forms of time, from which a geometrical structure can be derived which is similar to the framework employed in non-Abelian Kaluza-Klein theories. This leads to a relationship between the external and internal curvature on the spacetime manifold unified through the underlying constraint of the one dimension of time for the theory presented here. We also describe how the symmetry breaking structure is compatible with the Coleman-Mandula theorem for the subsequent quantisation of the theory.

研究の動機と目的

• 1次元時間の最小構造に基づく統一的物理理論の構築を目的とし、任意の仮定を避ける。
• 実区間の算術的分解から多次元空間的およびゲージ的対称性がどのように生じるかを示すこと。
• 時間のみを基盤として用いる非アーベルKaluza-Klein理論に類似した幾何学的枠組みを構築すること。
• 二重の対称性の破れメカニズムにより、Coleman-Mandulaの定理と整合性を保つこと。
• ヒッグス機構による完全な対称性の破れに依存せず、標準模型のスペクトルを導出する基盤を提供すること。

提案手法

• 実数 $ x^a $ を用いた $ s^2 = \eta_{ab}x^a x^b $ の2次形式分解（$ s \in \mathbb{R} $）を分析し、SO(n) 対称性と多次元空間的解釈を誘導する。
• 任意の符号型を持つ計量 $ \eta $ を用いた $ n $ 次元形式への拡張により、SO(p,q) 対称性と高次元時間構造を導出する。
• 時間の流れ $ L(\hat{\mathbf{v}}) = 1 $ の対称性の破れから導かれる主 bundle $ P \equiv M_4 \times G $ 上の線形接続 $ \acute{\Gamma}(p) $ を構成する。
• 方程式93を介して、$ M_4 $ 上のアインシュタイン＝ヒルベルト作用素と bundle 幾何学との間の統一的曲率関係を導出する。
• 完全な対称性群 $ \hat{G} \subset E_8 $ を用い、$ \hat{G} $ が外部の $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) $ と内部の $ \mathrm{SU}(2)_L \times \mathrm{U}(1)_Y $ に分解されることを示す。
• 2種類の対称性の破れメカニズムを区別する：$ \hat{G} $ の絶対的破れ（外部・内部成分への分解）と、$ \mathbf{v}_4 \in \mathrm{TM}_4 $ を通じる見かけ上の破れ。これにより $ \hat{G} $ への直接的なヒッグス結合を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元時間の流れから唯一導かれる統一場理論として、重力とゲージ相互作用を統合できるか？
• RQ2 実区間の算術的分解からどのように多次元空間的およびゲージ的対称性が生じるか？
• RQ3 時間から唯一導かれる理論において、外部時空曲率と内部ゲージ曲率の幾何的関係は何か？
• RQ4 提案された対称性の破れメカニズムは、Coleman-Mandula の定理とどのように整合性を保っているか？
• RQ5 統一群の完全な対称性の破れからヒッグス機構を分離することで、標準模型の階層問題を回避できるか？

主な発見

• 理論は、対称性の破れから生じる高次元時間構造 $ L(\hat{\mathbf{v}}) = 1 $ に基づいて、主 bundle $ P \equiv M_4 \times G $ 上の幾何学的枠組みを構築する。
• $ P $ 上に線形接続 $ \acute{\Gamma}(p) $ が定義され、方程式93を通じて外部および内部曲率の統一的記述が可能になる。
• 外部時空多様体 $ M_4 $ と内部ゲージ群 $ G $ は、完全対称性群 $ \hat{G} $ の絶対的破れから生じる。ここで $ \hat{G} \subset E_8 $ である。
• 理論は2種類の対称性の破れメカニズムを示す：$ \hat{\mathbf{v}} $ の外部および内部成分への破れ、および $ \mathbf{v}_4 \in \mathrm{TM}_4 $ を通じる電弱対称性の破れ。
• 完全な $ \hat{G} $ 対称性の破れに直接ヒッグスを結合しないことで、電弱ヒッグス領域への干渉を回避し、階層問題の解決の可能性が得られる。
• 外部ローレンツ対称性と内部ゲージ対称性が共通の統一群からの構造的破れによって生じるため、理論は Coleman-Mandula の定理と整合性を保つ。